三角形内角平分线定理证明-三角形内角平分线定理证明

三角形内角平分线定理的证明 画个图，拿把尺子量量。你会发现，当一条线把三角形的一个角 sliced slice deep 的时候，它把对边切成两段的比例，跟那个被切分角度里的两条射线比例是一模一样的。
这听起来有点玄乎，但在几何里实际上是有铁证可循的。目前咱们不整那些虚头巴脑的开场白，直接上干货，把定理证出来。 咱们先看看定义。三角形三条线的交点要是都在边上，那就是内心，把对边分成的比例跟角平分线分成的比例彻底一样。
这实际上就是角平分线定理本身。
不过，咱们要证的是这个定理本身，也就是说，要是一条线平分一个角，它截出来的两段长度比，跟对应的两个邻边的长度比，是相等的。 假设我们有个三角形 ABC，在这个顶点 A 处画一条角平分线 AD，交对边 BC 于点 D。根据定义，AD 把角 B 和角 C 分成了相等的两半。要用这个定理，咱们得先建立一个坐标系要么用相似三角形的方式。 不妨用相似三角形的方式。在三角形 ABC 内部，以 A 为顶点，AB 为边，往外作一个三角形 AB'E，让角 B' 等于角 B，角 C' 等于角 C。
这样做的目标是构造出相似三角形。出于 AD 是角平分线，故此角 BAD 等于角 CAD。
要是我们构造得贼好，让角 B'AE 等于角 B，那么角 B'AD 就等于角 DAE。根据“角边角”（ASA）的判定法，三角形 AB'D 就全等于三角形 AEC。
这意味着 AB' 的长度等于 AC 的长度，而 AE 的长度等于 AB 的长度。 好了，目前你看三角形 AB'E 和三角形 ABC。它们有一组边相等，一个角相等，并且出于构造缘由，第三个角也必然相等。
故此这两个大三角形是相似的。
既然相似，那它们的对应边比例就得是最关键的。AB' 对应的是 AC，AE 对应的是 AB。
故此 AB' / AC = AE / AB。刚刚说了 AB' 等于 AC，AE 等于 AB，那这个比例实际上就是等于 1。 什么的，这仿佛没证出东西来，是不是哪儿想岔了？啊，明白了。刚刚的相似关系是放大的。目前让我们回到小的三角形 DAE 和 DAB。它们有公共角 A。根据角平分线定理的逆定理（这个定理挺好办证明，能够通过角度计算），角 DAB 等于角 DAC。再加上刚刚构造的对应角相等，三角形 DAB 和三角形 DAC 也是相似的。 好，既然全等，那它们对应的高要么斜边比例就得一样。斜边就是 AD，故此 AD 长度相等。接下来看底边。根据相似三角形对应边成比例，AB' 除以 AC 等于 AE 除以 AB，也就是 1 等于 1。 目前我们要开个头。在三角形 ABC 中，AD 是角平分线。根据上面的全等性质（之前的 AB' 等于 AC，AE 等于 AB），我们能够推断出 AD 把角 B 和角 C 分成了相等的两半。
那么，要是我们再在三角形 ABC 的另一侧构造一个三角形，让角 B'' 等于角 B，角 C'' 等于角 C，且这两个三角形的底边分别是 AB'' 和 AC''，那么这两个三角形也是相似的。 出于角平分线 AD 把角 B 和角 C 平分，故此它把这两个大三角形的两个对应角都平分。
这样，两个大三角形就变成了相似。根据相似三角形的性质，它们的对应边比例相等。大三角形的边分别是 AB'' 和 AC''。小三角形是由这两条大三角形的边收缩而成的。 具体来说，角平分线定理的证明核心在于构造相似三角形。以点 A 为顶点，以 AB 为边，向外作一个三角形 AB'D，使得角 B'D 等于角 B，角 C'D 等于角 C。出于 AD 是角平分线，故此角 BAD 等于角 CAD。由此可得角 B'DA 等于角 DAE，进而三角形 AB'D 全等于三角形 AEC。
这说明 AB' 等于 AC，AE 等于 AB。 既然 AB' 等于 AC，而 AE 等于 AB，那么三角形 AB'D 和三角形 ABC 就是相似的（两边成比例且夹角相等）。根据相似三角形对应边成比例的性质，AB' 除以 AC 等于 AE 除以 AB。出于 AB' 等于 AC，AE 等于 AB，故此比例系数是 1。 但这里要仔细一点。我们要证的是在三角形内部的那条线段 AD 分对边 BC 的比例。根据之前的全等，AB' 是对应 AC，AE 是对应 AB。
那么在三角形 ABC 中，AD 分 BC 成 BD 和 DC。根据相似三角形对应边成比例，BD 除以 DC 等于 AB' 除以 AC。出于 AB' 等于 AC，故此 BD 除以 DC 等于 1。 这说明 BD 等于 DC。但这不对啊，角平分线定理说的是比例等于邻边之比，要不就角平分线是中线。
为啥我会认定它平分了对边啊？哦不对，搞错了。全等证明的是 AB' 等于 AC，AE 等于 AB。但在三角形 ABC 内部，AD 是角平分线。根据角平分线定理，BD/DC 应当等于 AB/AC。 让我重新梳理一下逻辑链条，不能跳跃。假设三角形 ABC，角平分线 AD 交 BC 于 D。我们要证 BD/DC = AB/AC。 在三角形 ABC 内部，作三角形 AB'D，使得角 B'D = 角 B，角 C'D = 角 C。出于 AD 平分角 A，故此角 BAD = 角 CAD。由此推出角 B'DA = 角 DAE，故此三角形 AB'D 全等于三角形 AEC。
故此，AB' 等于 AC，AE 等于 AB。 目前看三角形 DAE 和 DAB。它们有公共角 A。根据角平分线定理（好办证），角 DAE = 角 DAB。加上刚刚构造的角对应相等，故此三角形 DAE 全等于三角形 DAB。
故此，AD 的长度相等。 根据相似三角形对应边成比例，三角形 DAE 和三角形 DAB 的对应边（AE 和 AB）之比为 AB/AC。
与此同时，它们的对应边（AD 和 AD）之比是 1。
什么的，这仿佛还是绕回去了。 对的证明路径应当是这样的：在三角形 ABC 内部，以 A 为顶点，AB 为边，作三角形 AB'E，使得角 B' = 角 B，角 C' = 角 C。出于 AD 平分角 A，故此角 BAD = 角 CAD。由此构造使得角 B'AD = 角 DAE，进而三角形 AB'D 全等于三角形 AEC。
这意味着 AB' = AC，AE = AB。 此时，三角形 AB'E 和三角形 ABC 相似（出于 AB'/AC = AE/AB = 1，且角相等）。根据相似三角形对应边成比例，AB' / AC = AE / AB。出于 AB' = AC，AE = AB，故此比例是 1。
这说明 AB' 和 AE 分别等于 AC 和 AB。 目前回到三角形 DAB 和 DAC。出于 AD 是角平分线，故此角 DAB = 角 DAC。构造的角 B' = 角 B，角 C' = 角 C。
故此三角形 DAB 相似于三角形 DAC。根据相似三角形对应边成比例，AB' / AC = AE / AB。 出于 AB' = AC，AE = AB，故此 AB' / AC = 1，AE / AB = 1。
这意味着 AD 在三角形内部的长度使得两个小三角形全等。进而，BD / DC = AB' / AC = 1。 这显然有难题。角平分线定理是 BD/DC = AB/AC。
要是 AB 不等于 AC，那 BD 就不等于 DC。
哪儿出难题了？啊，我在全等的时候搞错了对应边。 重新来。三角形 AB'D 全等于三角形 AEC。
故此 AB' = AC，AD = AE。 三角形 DAB 相似于三角形 DAC。 对应边是 AB' 和 AC，AE 和 AB。 出于 AB' = AC，AE = AB，故此相似比是 1。 这意味着 DB 和 DC 对应相等。
这说明 AD 是角平分线也是中线。
这只有当 AB = AC 时才成立啊。角平分线定理是 BD/DC = AB/AC。
要是 AB != AC，那么 BD != DC。 我的全等对应关系搞错了。应当是：三角形 AB'D 全等于三角形 ADC？不对。 三角形 AB'D 的角 B' 对应三角形 ABD 的角 B。角 B'D 对应角 DAB。角 B' 等于角 B，角 DAB 等于角 BAD。
故此三角形 AB'D 和三角形 ABD 不全等，要不就角 C' 等于角 C。 好的，对的证明法是用角度计算。 设角 A 被平分，分成的两个角是 alpha。 在三角形 ABD 中，角 DAB = alpha，角 B = beta。 在三角形 ABC 中，角 C = gamma。 由三角形内角和，角 ADB = 180 - alpha - beta。 同理，角 ADC = 180 - alpha - gamma。 故此角 ADB + 角 ADC = 180，这是显然的。 根据角平分线定理，BD / DC = AB / AC。 这实际上能够直接由正弦定理推导出来。 在三角形 ABD 中，BD / sin(alpha) = AB / sin(ADB)。 在三角形 ACD 中，DC / sin(alpha) = AC / sin(ADC)。 出于角 ADB + 角 ADC = 180，故此 sin(ADB) = sin(ADC)。 两式相除，BD / DC = AB / AC。证毕。 这证明白角平分线定理。目前咱们把定理用到了实战中。假设三角形 ABC 中，AB = 4，AC = 6。角 A 的平分线把 BC 分成了两段。根据定理，BD / DC = 4 / 6 = 2 / 3。
故此 BD 占 2 份，DC 占 3 份。BC 总长就是 5 份。假设 BC 是 10 厘米，那 BD 就是 4 厘米，DC 就是 6 厘米。彻底合理。
这在实际绘图要么物理建模时贼有用，比如画模具，按比例分边，要么计算力的分布。 最终，总结一下。
这个定理被称为角平分线定理，它揭示了三角形内部角度平分线与对边分割之间的比例关系。通过正弦定理要么相似三角形的构造，我们能够严谨地证明 BD 与 DC 的比值等于 AB 与 AC 的比值。
这个结论不仅优雅，并且应用广泛，从建筑结构的受力分析到计算机图形学中的路径分割，都能用到这个基础定理。
只要记住这个好办的比例关系，就能在几何难题中游刃有余。