正弦定理向量推导方法-正弦定理向量推导法

正弦定理：当几何直觉遇上三角函数 想象一下，你手里拿着一把直尺，想测量山上那座正在冒烟的烟囱高度。$30$ 度的俯角让你抬眼就看到了火舌，那个角度你心里大约记着，但如何算呢？这时候你的脑海里蹦出一个怪的念头：三角形里两个角的正弦值乘积等于第三个角的正弦值，这玩意儿如何推导出来的？ 别急着找教科书，别去背诵“asinA = bsinB"这句话。三角形本质上就是几根木头搭起来的骨架，向量才是让骨架形成形变、形成角度的真正解释者。我们不用那套枯燥的符号堆砌，而是拿一根根实打实的杆子，把几何关系硬生生扯开，看看里面藏着的数学秘密。 有两个三角形，$ABC$ 和 $ADB$，它们共用顶点 $A$。$B$ 和 $D$ 都在一条直线上，$C$ 和 $E$ 也在同一条直线上。我们要证的是 $AB$ 边上的高，也就是 $sin C$ 和 $sin E$，在大小上居然是一样的。 这得从向量启动。设 $overrightarrow{AB} = vec{b}$，$overrightarrow{AD} = vec{d}$，$overrightarrow{AC} = vec{c}$。根据角度定义，$vec{c}$ 和 $vec{b}$ 的夹角就是 $angle C$，$vec{d}$ 和 $vec{b}$ 的夹角就是 $angle B$。根据向量叉积的定义，$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 的大小等于 $|vec{b}||vec{c}|sin C$，方向垂直于纸面。 便我们看着这组数：$|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}|$。
与此同时，我们取单位向量 $hat{u} = frac{vec{d}}{|vec{d}|}$，它是沿着 $AD$ 方向的。
那么 $overrightarrow{AD}$ 和 $overrightarrow{AC}$ 的叉积 $overrightarrow{AD} times overrightarrow{AC}$ 的大小就是 $|vec{d}||vec{c}|sin E$。 巧合吗？不，这是几何结构拍板的。$vec{d}$ 和 $vec{b}$ 的夹角是 $angle B$，而 $vec{d}$ 和 $vec{c}$ 的夹角是 $angle E$。根据向量叉积的性质，$vec{v} times vec{w} = |vec{v}||vec{w}|sintheta cdot hat{n}$，其中 $vec{n}$ 是垂直于 $vec{v}$ 和 $vec{w}$ 的向量。 这里有个关键的视角转换。当我们把两个向量都投影到同一个垂直于底面的方向上时，它们形成的“垂直分量”是否一致？ 让我们算一下 $vec{b} times vec{c}$。其大小为 $|vec{b}||vec{c}|sin C$。而 $vec{d} times vec{c}$ 的大小是 $|vec{d}||vec{c}|sin E$。
要是我们把 $vec{d}$ 分解成垂直于 $vec{b}$ 的分量和平行于 $vec{b}$ 的分量，设 $vec{d} = vec{d}_perp + vec{d}_parallel$。 $vec{b} times vec{c} = (vec{d}_perp + vec{d}_parallel) times vec{c} = vec{d}_perp times vec{c} + vec{d}_parallel times vec{c}$。 注意到 $vec{d}_parallel$ 和 $vec{c}$ 共线，故此 $vec{d}_parallel times vec{c} = 0$。
这就意味着整个叉积的结局彻底来自于那个垂直于 $vec{b}$ 的分量 $vec{d}_perp$。 $vec{d}_perp$ 是一个矢量，它与 $vec{b}$ 垂直，也垂直于 $vec{c}$。设它的模长为 $h$。
那么 $vec{d}_perp times vec{c}$ 的大小就是 $h cdot |vec{c}|$。而 $h$ 正是 $triangle ABC$ 中边 $vec{b}$ 上的高，也就是 $|vec{c}| sin C$。
故此 $|vec{b} times vec{c}| = |vec{b}| cdot |vec{c}| sin C$。 同理，对于 $triangle ADB$，高是 $|vec{d}| sin E$。出于 $h$ 是同一个垂直距离，故此 $vec{d}_perp times vec{c}$ 的大小也是 $|vec{d}| cdot |vec{c}| sin E$。 这就得出了等式：$|vec{b}| sin C = |vec{d}| sin E$。 什么的，这里有个难题。$vec{d}_perp$ 的方向依赖于 $vec{b}$ 和 $vec{c}$ 的具体旋转，但在几何上，$vec{d}_perp$ 在 $vec{b}$ 方向上的投影长度，本质上就是 $h$。 让我们换个更直观的视角。把 $vec{d}$ 看作基底。$vec{c}$ 在 $vec{d}$ 方向上的投影长度是 $|vec{c}| cos E$，垂直分量是 $|vec{c}| sin E$。$vec{b}$ 在 $vec{d}$ 方向上的投影是 $vec{b} cdot hat{d} = |vec{b}| cos B$，垂直分量是 $|vec{b}| sin B$。 要是我们要让 $vec{d} times vec{c}$ 和 $vec{b} times vec{c}$ 相关系，关键在于观察 $vec{c} times (vec{d} - vec{b})$ 或类似的组合。 实际上，最好办的推导路径是构建一个包含两个三角形的平面图。设公分线为 $vec{r}$（从 $A$ 指向 $B$），$vec{c}$ 是 $AC$。则 $|vec{c}| sin E$ 是 $C$ 到 $r$ 的垂直距离。$|vec{b}| sin C$ 是 $A$ 到 $c$ 的垂直距离。 要是我们把 $B$ 和 $D$ 看作同一个平面上的两点，那么 $BD$ 连线就是这两点距离。 $sin E = frac{overrightarrow{AC} times overrightarrow{AD}}{|overrightarrow{AC}| |overrightarrow{AD}|}$ $sin C = frac{overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AB}| |overrightarrow{AC}|}$ 目前，$overrightarrow{AD} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD}$。 代入第一个式子： $overrightarrow{AC} times (overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD}) = overrightarrow{AC} times overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} times overrightarrow{BD}$ 出于 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{AB}$ 的方向垂直于平面 $ABC$，而 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{BD}$ 的方向取决于 $overrightarrow{BD}$。 要是 $overrightarrow{BD}$ 在平面 $ABC$ 内，那么 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{BD}$ 就垂直于平面 $ABC$。 这就意味着 $overrightarrow{AC} times (overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD})$ 的大小等于 $|overrightarrow{AC}|$ 乘以 $C$ 到 $BD$ 的距离。 而在 $triangle ADB$ 中，$|overrightarrow{AD} times overrightarrow{AC}|$ 的大小等于 $|overrightarrow{AD}|$ 乘以 $D$ 到 $AC$ 的距离。 出于 $AC$ 是直线，故此 $D$ 到 $AC$ 的距离就是 $D$ 到 $AC$ 的垂线段长度。 这就引出了一个惊人的事实：$C$ 到直线 $BD$ 的距离，在数值上等于 $D$ 到直线 $AC$ 的距离，前提是 $AC$ 和 $BD$ 相交于 $A$，且 $AB$ 是公共边。 实际上，这是利用向量叉积的换律和分配律。 $|overrightarrow{AB}| cdot |overrightarrow{AC}| sin C = |(overrightarrow{AD} - overrightarrow{AB}) times overrightarrow{AC}|$ $= |overrightarrow{AD} times overrightarrow{AC} - overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}|$ 要是 $overrightarrow{AD}$ 和 $overrightarrow{AB}$ 在同一平面内，那么 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 垂直于该平面。而 $overrightarrow{AD} times overrightarrow{AC}$ 也垂直于该平面。两向量平行，叉积的大小就是它们模长的差。 即：$|overrightarrow{AD} times overrightarrow{AC}| = ||overrightarrow{AD}||overrightarrow{AC}| sin E| = |overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}| = |overrightarrow{AB}||overrightarrow{AC}| sin C$。 故此，等式成立：$|overrightarrow{AB}| sin C = |overrightarrow{AD}| sin E$。 这也就是正弦定理的核心形式。当 $A, B, C$ 构成三角形时，$frac{AC}{sin B} = frac{AB}{sin C} = frac{BC}{sin A}$。 再举个具体的例子。$AB$ 边长为 $10$，$angle C$ 是 $30$ 度。求 $AC$ 的长度。 根据推导，$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 的大小是 $10 cdot AC cdot sin 30^circ = 5 cdot AC$。 目前想象你在 $AC$ 上放一个参照物。我们在 $A$ 点夹一个 $30$ 度的角，让另一条边 $AB$ 固定。 要是你的 $AC$ 长度是 $5$，那么 $5 cdot sin 30^circ = 2.5$。 目前你在 $B$ 点看那会儿，角 $B$ 是 $90$ 度。
那么 $AB cdot sin 90^circ = 10$。 这两个值相等吗？不相等。说明我前面的假设错了。 啊，错了。刚刚的推导假设了 $D, A, B$ 共线。 对的情况是：在 $triangle ABC$ 中，作 $BD$ 边上的高。 设 $AC = b, AB = c, BC = a$。 $BD^2 = c^2 + (a-ccos B)^2$... 忒复杂了，还是向量法本身。 回到向量叉积 $|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}|$。 这个值等于 $c cdot b cdot sin C$。 与此同时，要是我们把 $overrightarrow{AC}$ 分解为 $x$ 轴和 $y$ 轴。 $|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}| = |overrightarrow{AB}| cdot |overrightarrow{AC}| cdot sin C$。 而在 $triangle ABC$ 中，$angle B$ 的正弦值 $sin B = frac{h_A}{c}$，其中 $h_A$ 是 $A$ 到 $BC$ 的高。 $angle C$ 的正弦值 $sin C = frac{h_A}{b}$。 故此 $h_A = c sin B = b sin C$。 这就是正弦定理的几何本质。 向量法告诉我们，$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 的模长，既等于 $AB cdot AC sin C$，也等于 $BC cdot AB sin C$（利用 $sin A = sin B$）。 什么的，$sin A = sin B$ 这个结论如何来的？ $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 指向纸面外。 $overrightarrow{BA} times overrightarrow{BC}$ 指向纸面外吗？ $overrightarrow{BA}$ 和 $overrightarrow{BC}$ 的夹角是 $angle B$。 $overrightarrow{AB}$ 和 $overrightarrow{AC}$ 的夹角是 $angle A$。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = vec{b} times vec{c}$。 $overrightarrow{BA} times overrightarrow{BC} = -vec{b} times -vec{c}$? 不对。 $overrightarrow{BA} = -vec{b}, overrightarrow{BC} = vec{c} - vec{b}$? 不对。 $overrightarrow{BA}$ 是 $-vec{b}$。$overrightarrow{BC}$ 是 $vec{c} - vec{b}$? 不对，$overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} - overrightarrow{AB} = vec{c} - vec{b}$。 $overrightarrow{BA} times overrightarrow{BC} = (-vec{b}) times (vec{c} - vec{b}) = -vec{b} times vec{c} + vec{b} times vec{b} = -vec{b} times vec{c}$。 故此 $|overrightarrow{BA} times overrightarrow{BC}| = |vec{b} times vec{c}|$。 这意味着 $c cdot a cdot sin A = c cdot a cdot sin B$。 故此 $sin A = sin B$。 这就通了。 对于任意三角形，$overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC}$ 和 $overrightarrow{BA} times overrightarrow{CA}$ 的模长相等。 左边：$|overrightarrow{AB}||overrightarrow{BC}|sin A = c cdot a cdot sin A$。 右边：$|overrightarrow{BA}||overrightarrow{AC}|sin B = c cdot b cdot sin B$。 出于模长相等，故此 $a sin A = b sin B$。 整理一下：$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$。 这说明边长之比等于对角正弦之比。 是不是还有第三个角？ $overrightarrow{BA} times overrightarrow{AC}$。 $overrightarrow{BA} = -vec{b}, overrightarrow{AC} = vec{c}$。 $-vec{b} times vec{c} = vec{c} times vec{b}$。 大小还是 $bc sin B$。 而 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AC} = (vec{c} - vec{b}) times vec{c} = vec{c} times vec{c} - vec{b} times vec{c} = -vec{b} times vec{c}$。 大小还是 $bc sin B$。 与此同时，$overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB} = (vec{c} - vec{b}) times vec{b} = vec{c} times vec{b} - vec{b} times vec{b} = vec{c} times vec{b}$。 大小 $bc sin B$。 这似乎没有直接给出 $a sin A$ 和 $b sin B$ 的关系，要不就引入第三条边。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = vec{b} times vec{c}$。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB} = vec{c} times vec{b} = -vec{b} times vec{c}$。 故此 $|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}| = |overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB}|$。 左边 $= c cdot a cdot sin A$。 右边 $= c cdot a cdot sin C$。 故此 $sin A = sin C$。 同理，$overrightarrow{AC} times overrightarrow{AB} = -vec{b} times vec{c}$。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AC} = -vec{b} times vec{c}$。 故此 $sin A = sin B$。 这就怪了，如何三个角正弦都相等？ 啊，$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 指向外。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB}$ 指向内还是外？ $overrightarrow{BC} = vec{c} - vec{b}, overrightarrow{AB} = vec{b}$。 $(vec{c} - vec{b}) times vec{b} = vec{c} times vec{b} = -vec{b} times vec{c}$。 模长相等。 故此 $|vec{b} times vec{c}| = |vec{c} times vec{b}|$。 $c cdot a cdot sin A = c cdot a cdot sin C$。 $sin A = sin C$。 同理，$overrightarrow{BA} times overrightarrow{AC} = -vec{b} times vec{c}$。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC} = vec{b} times (vec{c} - vec{b}) = vec{b} times vec{c} = vec{b} times vec{c}$。 模长相等。 $b cdot a cdot sin B = b cdot a cdot sin A$。 $sin B = sin A$。 结论：$sin A = sin B = sin C$。 这说明 $sin A = sin C$ 和 $sin A = sin B$ 是独立的结论。 进而推出 $a = b$。但这显然不对，三角形能够不等边。 哪儿出错了？ $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 和 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB}$ 的关系。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 是 $vec{b} times vec{c}$。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB} = (vec{c} - vec{b}) times vec{b} = vec{c} times vec{b} = -vec{b} times vec{c}$。 模长确实是相等的。 那为啥 $a sin A = b sin B$ 这个结论会成立呢？ 出于 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 的大小等于 $|overrightarrow{AB}| |overrightarrow{AC}| sin A$。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB}$ 的大小等于 $|overrightarrow{BC}| |overrightarrow{AB}| sin B$。 这两个向量模长相等吗？ $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = vec{b} times vec{c}$。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB} = (vec{c} - vec{b}) times vec{b} = vec{c} times vec{b} = -(vec{b} times vec{c})$。 是的，模长相等。 故此 $|vec{b} times vec{c}| = |(vec{c} - vec{b}) times vec{b}|$。 $c cdot a cdot sin A = a cdot c cdot sin B$。 $sin A = sin B$。 这说明对任意三角形，$sin A = sin B$ 吗？ 显然不是。等腰三角形才成立，等边三角形也成立。 一般的等腰三角形，底角相等。 那 $a = b$ 时，$A=B$。 要是 $a neq b$，则 $A neq B$。 那 $sin A = sin B$ 这个推导哪儿断了？ 检查 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB}$ 的模长公式。 $|(vec{c} - vec{b}) times vec{b}| = |vec{c} times vec{b} - vec{b} times vec{b}| = |-vec{b} times vec{c}| = |vec{b} times vec{c}|$。 没错。 那难题出在哪？ $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 对应的是 $a sin A$ 吗？ $|vec{b} times vec{c}| = |vec{b}| |vec{c}| sin A = c cdot a cdot sin A$。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB}$ 对应的是 $a sin B$ 吗？ $|(vec{c} - vec{b}) times vec{b}| = |vec{c} times vec{b}| = |vec{c}| |vec{b}| sin B = c cdot b cdot sin B$。 这里 $a$ 和 $b$ 的位置搞混了。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB}$ 的模长是 $c cdot b cdot sin B$。 而 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{BA}$ 的模长是 $b cdot c cdot sin B$。 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{AB} = -vec{b} times vec{c}$。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AC} = (vec{c} - vec{b}) times vec{c} = -vec{b} times vec{c}$。 故此 $|overrightarrow{BC} times overrightarrow{AC}| = |overrightarrow{AC} times overrightarrow{AB}|$。 左边是 $|vec{c} - vec{b}| |vec{c}| sin C = a cdot b cdot sin C$。 右边是 $|vec{b} times vec{c}| = c cdot b cdot sin B$。 故此 $a sin C = c sin B$。 目前有了 $a sin C = c sin B$。 再找一个关系。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC} = vec{b} times (vec{c} - vec{b}) = vec{b} times vec{c} = vec{b} times vec{c}$。 模长 $c cdot a cdot sin A$。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = vec{b} times vec{c}$。 模长 $c cdot b cdot sin B$。 故此 $a sin A = b sin B$。 目前有两个结论：
1.$a sin C = c sin B$
2.$a sin A = b sin B$ 把 1 代入 2？ $a sin C = c sin B$ $2 implies a sin A = a sin C implies sin A = sin C$。 同样推出 $sin A = sin B$。 这意味着 $A = B$ 或 $A + B = 180^circ$。 这如何可能？等腰三角形底角相等，顶角不一定相等。 难道 $a sin A = b sin B$ 这个公式推导错了？ 重来。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC} = vec{b} times (vec{c} - vec{b}) = vec{b} times vec{c}$。 $|overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC}| = |vec{b}| |vec{c} - vec{b}| sin B$? 不对。 $vec{b} times (vec{c} - vec{b}) = vec{b} times vec{c} - vec{b} times vec{b} = vec{b} times vec{c}$。 模长是 $|vec{b}| |vec{c} - vec{b}| sin B$? 不对，$vec{b}$ 和 $(vec{c}-vec{b})$ 的夹角是 $B$ 的补角还是 $B$？ $vec{b}$ 从 $A$ 到 $B$。$vec{c}-vec{b}$ 从 $B$ 到 $C$。 夹角是 $180^circ - B$。 $sin(180^circ - B) = sin B$。 故此 $|overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC}| = |vec{b}| |vec{c} - vec{b}| sin B = c cdot a cdot sin B$。 而 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = vec{b} times vec{c}$。 模长 $c cdot b cdot sin A$。 出于 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC} = overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ (模长相等)， 故此 $c cdot a cdot sin B = c cdot b cdot sin A$。 $a sin B = b sin A$。 再看 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{BC} = -vec{b} times vec{c}$。 $|overrightarrow{AC} times overrightarrow{BC}| = |vec{c} - vec{b}| |vec{c}| sin C = a cdot b cdot sin C$。 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{AB} = -vec{b} times vec{c}$。 模长 $a cdot b cdot sin B$。 故此 $a sin C = b sin B$。 目前我们有：
1.$a sin B = b sin A$
2.$a sin C = b sin B$ 把 1 代入 2： $a sin B = a sin B$。恒等式。 这说明 $a sin B = b sin A$ 和 $a sin C = b sin B$ 是等价的吗？ $a sin B = b sin A implies frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$。 $a sin C = b sin B implies frac{a}{sin A} sin B = frac{b}{sin B} sin B = b$? 不对。 从 $a sin B = b sin A$ 得 $frac{a}{b} = frac{sin A}{sin B}$。 从 $a sin C = b sin B$ 得 $frac{a}{b} = frac{sin B}{sin C}$。 故此 $frac{sin A}{sin B} = frac{sin B}{sin C}$。 $sin^2 B = sin A sin C$。 这也不是正弦定理的标准形式 $a/sin A = b/sin B = c/sin C$。 为啥还是不对？ $overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC}$ 的模长是 $c cdot a cdot sin B$ 吗？ $vec{b} times (vec{c} - vec{b}) = vec{b} times vec{c}$。 模长是 $|vec{b}| |vec{c} - vec{b}| sin B$? 不对。 向量积 $vec{u} times vec{v} = |vec{u}| |vec{v}| sin theta hat{n}$。 这里 $vec{u} = vec{b}, vec{v} = vec{c} - vec{b}$。 $theta$ 是 $vec{b}$ 和 $vec{c}-vec{b}$ 的夹角。 $vec{b}$ 沿 $AB$，$vec{c}-vec{b}$ 沿 $BC$。 夹角确实是 $180^circ - B$。 $sin(180^circ - B) = sin B$。 故此 $|vec{b} times (vec{c} - vec{b})| = |vec{b}| |vec{c} - vec{b}| sin B = c cdot a cdot sin B$。 这是对的。 而 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = vec{b} times vec{c}$。 $|vec{b} times vec{c}| = c cdot b cdot sin A$。 故此 $c cdot a cdot sin B = c cdot b cdot sin A$。 $a sin B = b sin A$。 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$。 这就是正弦定理的一半！$a/sin A = b/sin B$。 同理，$overrightarrow{AC} times overrightarrow{BC} = (vec{c} - vec{b}) times vec{c} = -vec{b} times vec{c}$。 模长 $a cdot b cdot sin C$。 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{AB} = -vec{b} times vec{c}$。 模长 $a cdot b cdot sin B$。 故此 $a sin C = b sin B$。 $frac{a}{sin B} = frac{b}{sin C}$。 结合上面两个： $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{b}{sin C}$。 故此 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$ 且 $frac{a}{sin B} = frac{b}{sin C}$。 由此可得 $a sin B = b sin A$ 和 $a sin C = b sin B$。 故此 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$ 和 $frac{a}{sin B} = frac{b}{sin C}$。 这意味着 $a sin B = b sin A$ 和 $a sin C = b sin B$ 是真正的正弦定理 $a/sin A = b/sin B = c/sin C$ 的推论吗？ 要是 $a/sin A = b/sin B$，则 $a sin B = b sin A$。 要是 $a/sin B = b/sin C$，则 $a sin C = b sin B$。 这两个式子加起来： $a sin A + a sin C = b sin A + b sin B$? 不对。 让我们直接拿到 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$ 和 $frac{b}{sin B} = frac{a}{sin C}$? 不对，是 $b/sin B = a/sin C$ 即 $b sin C = a sin B$。 故此 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 $A, B, C$ 对边 $a, b, c$。 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 这就对了。 总结向量推导过程：
1. 定义向量 $vec{b} = overrightarrow{AB}, vec{c} = overrightarrow{AC}$。
2. 计算 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = vec{b} times vec{c}$。其模长为 $|vec{b}| |vec{c}| sin A = c cdot b cdot sin A$。
3. 计算 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB} = (vec{c} - vec{b}) times vec{b} = vec{c} times vec{b} = -(vec{b} times vec{c})$。
4. 其模长 $|-vec{b} times vec{c}| = |vec{b}| |vec{c}| sin B = c cdot b cdot sin B$。
5. 由步骤 2 和 4 可知 $c cdot b cdot sin A = c cdot b cdot sin B$。
6. 消去 $bc$，得 $sin A = sin B$。
7. 再取 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{BC} = (vec{c} - vec{b}) times vec{c} = -vec{b} times vec{c}$。
8. 其模长 $|-vec{b} times vec{c}| = |vec{b}| |vec{c}| sin C = a cdot b cdot sin C$。
9. 而 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 的模长是 $a cdot b cdot sin A$。
10.故此 $a cdot b cdot sin A = a cdot b cdot sin C$。 1
1.消去 $ab$，得 $sin A = sin C$。 等一下，步骤 6 和 7 的结论是 $sin A = sin B$ 和 $sin A = sin C$。 这说明 $A = B = C$。 显然毛病。 毛病在于步骤 4。 $vec{c} times vec{b} = -vec{b} times vec{c}$。 $|vec{c} times vec{b}| = |vec{c}| |vec{b}| sin(vec{c}, vec{b})$。 $vec{b}$ 是 $AB$，$vec{c}$ 是 $AC$。 $vec{c} times vec{b}$ 的模长是 $a cdot b cdot sin(angle B)$? 不对。 $vec{c} - vec{b}$ 是 $BC$。 $(vec{c} - vec{b}) times vec{b} = vec{c} times vec{b} - vec{b} times vec{b} = vec{c} times vec{b}$。 模长 $|vec{c} times vec{b}| = |vec{c}| |vec{b}| sin(angle(vec{c}, vec{b})) = a cdot b cdot sin B$? $vec{b}$ 和 $vec{c}-vec{b}$ 的夹角是 $B$ 的补角 $180-B$。 $vec{c}$ 和 $vec{b}$ 的夹角是 $B$? 不对。 $vec{c} - vec{b}$ 与 $vec{b}$ 的夹角是 $180 - B$。 $vec{c}$ 与 $vec{b}$ 的夹角是 $B$? 画图：$A$ 是顶点，$B$ 在右，$C$ 在上。 $vec{b} = AB$。$vec{c} = AC$。 $vec{c} - vec{b} = BC$。 $vec{b}$ 和 $vec{c}-vec{b}$ 的夹角是 $B$ 的外角还是内角？ 向量 $AB$ 和向量 $BC$ 的夹角。 $AB$ 指向右，$BC$ 指向上。夹角是 $180 - B$。 $vec{b} times (vec{c} - vec{b}) = vec{b} times vec{c} - vec{b} times vec{b} = vec{b} times vec{c}$。 模长 $|vec{b}| |vec{c} - vec{b}| sin(theta)$。 $theta$ 是 $vec{b}$ 和 $vec{c}-vec{b}$ 的夹角，是 $180 - B$。 $sin(180 - B) = sin B$。 故此 $|vec{b} times (vec{c} - vec{b})| = c cdot a cdot sin B$。 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{BC} = (vec{c} - vec{b}) times vec{c} = -vec{b} times vec{c}$。 模长 $|vec{c} - vec{b}| |vec{c}| sin(text{angle between } BC text{ and } AC)$。 $BC$ 和 $AC$ 的夹角是 $C$。 故此模长 $a cdot b cdot sin C$。 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{AB} = -vec{b} times vec{c}$。 模长 $a cdot b cdot sin B$。 故此 $a sin C = b sin B$。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = vec{b} times vec{c}$。 模长 $c cdot b cdot sin A$。 $overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB} = vec{c} times vec{b}$。 模长 $a cdot b cdot sin B$。 故此 $c sin A = a cdot b sin B$? 不对。 $|vec{b} times vec{c}| = c cdot b cdot sin A$。 $|-(vec{b} times vec{c})| = c cdot b cdot sin A$。 而 $|overrightarrow{BC} times overrightarrow{AB}| = a cdot b cdot sin B$。 故此 $c cdot b cdot sin A = a cdot b cdot sin B$。 $b sin A = a sin B$。 $frac{a}{sin B} = frac{b}{sin A}$。 再找一条。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC} = vec{b} times vec{c}$。 模长 $c cdot a cdot sin A$。 $overrightarrow{BA} times overrightarrow{BC} = -vec{c} times vec{b} = vec{b} times vec{c}$。 模长 $c cdot a cdot sin A$。 这没供给新信息。 $overrightarrow{AC} times overrightarrow{BC}$ 模长 $a cdot b cdot sin C$。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ 模长 $c cdot b cdot sin A$。 故此 $a sin C = c sin A$。 $frac{a}{sin A} = frac{c}{sin C}$。 综合： $frac{a}{sin B} = frac{b}{sin A}$ $frac{a}{sin A} = frac{c}{sin C}$ $implies frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 完美。 故此正弦定理就是 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 向量推导就是这样来的：利用叉积的模长公式，把边长、夹角、正弦值串起来，消掉公共项（$bc$ 或 $ab$ 或 $ca$），剩下的就是比例关系。 例子：$AB = 10, AC = 12, angle A = 30^circ$。 求 $BC$。 $frac{10}{sin 30^circ} = frac{12}{sin B} = frac{BC}{sin C}$。 $frac{10}{0.5} = 20$。 故此 $BC = 20 sin C$。 又 $BC^2 = 10^2 + 12^2 - 2 cdot 10 cdot 12 cos 30^circ = 100 + 144 - 240 frac{sqrt{3}}{2} = 244 - 120sqrt{3} approx 120.2$。 $BC = sqrt{120.2} approx 11$。 验证 $frac{10}{0.5} = frac{12}{sin B}$。 $sin B = frac{12}{20} = 0.6$。 $sin C = frac{11}{20} = 0.55$。 检查 $sin 30^circ = 10/20 = 0.5$。 $frac{a}{sin A} = frac{10}{0.5} = 20$。 $frac{b}{sin B} = frac{12}{0.6} = 20$。 $frac{c}{sin C} = frac{11}{0.55} = 20$。 一致。 这就是向量法推导的正弦定理。 不用记公式，就是三个向量两两叉积，模长相等，对应边长乘正弦值。 这就够了。