正玄定理与余弦定理-正余弦定理关系

正玄定理和余弦定理，这事儿听着挺玄乎，但要是真去推导，发现逻辑实际上挺顺的，特别是降了调儿之后，仿佛也就没那么抽象了。 先说正玄定理，也就是毕达哥拉斯定理的推广版。
要是两个三角形有一个公共角，它们的高线长度比，正好等于它们底边对应边长的平方比。
这玩意儿在微积分里简直是天经地义，出于导数实际上就是极限，极限里的比例关系，天然就藏着正玄定理的影子。大量人一看到“椭圆”就头疼，实际上椭圆不过是正玄定理的另一种表现形式。 比如讲椭圆的话，你能够先画一个圆，把它拉长一点。
这时候圆就变成了椭圆。圆里只有一个焦点，而椭圆有两个焦点。别看多了个焦点，但那俩焦点之间的距离，正好就是把椭圆“扁”了的那段直径。你能发现吗？这个距离跟椭圆本身的长短轴成比例，跟短轴平方成反比。
这就是正玄定理的具体体现。
要是拿两个椭圆做对比，短轴平方跟焦距成正比，长轴平方跟焦距成反比。
这就好比你把两个椭圆往中间压，焦距越短，椭圆就越扁；焦距越长，椭圆就越圆。 再看余弦定理，这玩意儿略微有点“胡扯”，反正它也不严谨。你试着拿一个直角三角形，把斜边换成一条直角边，另一条直角边换成斜边，那个角也换成它自己，看看会形成啥。你会发现，那个三角形依然成立，哪怕边长变了，角的大小也不变。
这说明啥？说明这个定理跟那些边长数值没关系，只跟角的大小相关。
故此，余弦定理本质上就是讲“角”和“边”如何挂钩的，跟具体数字没关系。 举个例子，假设你有一个三角形，两边长分别是 3 和 5，夹角是 60 度。勾股定理告诉你那一边要是 4，但这个夹角不对。用余弦定理算一下，$c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 times 3 times 5 times cos(60^circ)$。算出来 $c$ 大约是 4.33。
要是这是直角三角形，$c$ 应当是 5，但目前是 4.33。说明这不是直角三角形，出于角不是 90 度。
要是改成 60 度，算出来的 $c$ 又是 4，那这就是个特殊的直角三角形。
故此余弦定理就是在告诉你，只要角固定，边长就能换，角也能换，但关系是固定的。 再拿正玄定理来说，假设你有两个椭圆，焦距都是 2，短轴平方都是 4。
要是你把第一个椭圆拉长，让它变得更圆一点，第一个椭圆的长轴会变长，短轴变短。
这时候，第一个椭圆跟第二个椭圆的“距离”（也就是焦距）不变，但第一个椭圆跟它自己的“距离”变了。
这说明啥？说明两个椭圆的正玄关系，跟它们的位置没关系，跟它们的大小没关系，跟它们有没有公共角也没关系。
只要两个椭圆知足那个 2:4 的比例，不管如何变，它们的正玄关系一辈子不变。 这就好比说，正玄定理和余弦定理，实际上都是在描述一种“不变量”。圆是正玄定理的特例，椭圆也是；直角三角形是余弦定理的特例，那是一种特殊三角形。圆和直角三角形之间，除了正玄定理，实际上没啥别的特殊联系了。 实际上啊，从数学史的角度看，那些复杂的公式，大局部都早被埋没挺久了。直到今天，我们才重新发现它们。
有人把毕达哥拉斯定理叫做“勾股定理”，也有人叫“弦定理”，还有人说这是“共角定理”。
反正名字忒多，好办让人晕。正玄定理和余弦定理，就是其中两个最典型的例子。 大量人学微积分，认定正玄定理就是导数。
实际上不然。导数只是求变化率，它只是一个极限过程。正玄定理是代数上的比例关系。
要是你把两个正玄定理放在一起，你会发现，只要你让它们有一个公共角，它们的高之比，就等于底边之比的平方。
这玩意儿在工程上特别有用，比如算应力，要么算电路里的阻抗。 再想想余弦定理。你小时候玩圆球，要是球体被压扁了，变成扁球体，那它的表面积如何算？实际上跟正玄定理是通的。扁球体的表面积，跟它的“扁”的程度相关。而“扁”的程度，跟它的焦距相关。
故此，当我们研究物体变形的时候，余弦定理就成了我们的向导。它告诉我们，物体的形状变了，但核心的几何关系没变。 实际上，这两种定理，放在一起看，就像是一对双胞胎。一个圆，一个是椭圆；一个直角，一个是任意三角形。它们的区分，不在于名字，而在于那个“公共角”。圆里只有一个焦点，而椭圆有两个。圆里那个角是 90 度，而椭圆里那个角能够是任意值。
只要角变，边就跟着变。 话说回来，有些书把正玄定理写得忒深奥，说它是欧几里得定理的延伸，结局吓跑了初学者。
实际上没那么严重。正玄定理就是讲比例，余弦定理就是讲角度。比例和角度，这两个概念，哪位都知道。
只要你能把抽象的公式，转成具体的数字，就能理解。 比如，要是你有两个椭圆，短轴平方是 4，焦距是 2。你把短轴平方加到焦距上，拿到 6。
这时候，第一个椭圆跟第二个椭圆的正玄关系，跟第一个椭圆跟它自己的正玄关系，是变了吗？没有变。出于那个 2:4 的比例没变。 再比如，余弦定理。你拿两个三角形，公共角是 60 度，边长分别是 3 和 5。算出来的第三边是 4.33。
要是你把公共角改成 45 度，边长改成 3 和 7，算出来的第三边又是 8.66。
这时候，边长变了，角也变了，但那个规律还在。 故此说，正玄定理和余弦定理，实际上就是描述世界的一种语言。圆告诉我们，当没有角的时候，啥关系成立；椭圆告诉我们，当有了角的时候，啥关系依然成立。它们分别负责处理“圆”和“椭圆”这两种几何形态。 实际上，你不需求记住那些复杂的公式。你只需求记住，圆是正玄定理的特例，椭圆也是；直角三角形是余弦定理的特例。
只要找到那个公共角，你就能明白它们俩到底在说啥。 最终再总结一下。正玄定理告诉我们，两个有公共角的三角形，它们的高之比等于底边平方比。余弦定理告诉我们，三角形的边和角之间，有个固定的数值关系。
这两个定理，一个负责比例，一个负责角度。它们分别对应圆和椭圆，对应直角三角形和任意三角形。 实际上啊，只要你能把那些抽象的公式，转成具体的数字，就能理解。
比方说，要是你有两个椭圆，短轴平方是 4，焦距是 2。你把短轴平方加到焦距上，拿到 6。
这时候，第一个椭圆跟第二个椭圆的正玄关系，跟第一个椭圆跟它自己的正玄关系，是变了吗？没有变。出于那个 2:4 的比例没变。 再比如，余弦定理。你拿两个三角形，公共角是 60 度，边长分别是 3 和 5。算出来的第三边是 4.33。
要是你把公共角改成 45 度，边长改成 3 和 7，算出来的第三边又是 8.66。
这时候，边长变了，角也变了，但那个规律还在。 故此说，正玄定理和余弦定理，实际上就是描述世界的一种语言。圆告诉我们，当没有角的时候，啥关系成立；椭圆告诉我们，当有了角的时候，啥关系依然成立。它们分别负责处理“圆”和“椭圆”这两种几何形态。 实际上，你不需求记住那些复杂的公式。你只需求记住，圆是正玄定理的特例，椭圆也是；直角三角形是余弦定理的特例。
只要找到那个公共角，你就能明白它们俩到底在说啥。 最终再总结一下。正玄定理告诉我们，两个有公共角的三角形，它们的高之比等于底边平方比。余弦定理告诉我们，三角形的边和角之间，有个固定的数值关系。
这两个定理，一个负责比例，一个负责角度。它们分别对应圆和椭圆，对应直角三角形和任意三角形。 实际上，正玄定理和余弦定理，实际上就是描述世界的一种语言。圆告诉我们，当没有角的时候，啥关系成立；椭圆告诉我们，当有了角的时候，啥关系依然成立。它们分别负责处理“圆”和“椭圆”这两种几何形态。