所有的定理一定有逆定理吗-所有定理都有逆吗

所有的定理不一定有逆定理。
说白了，就是一句话，命题和它的逆命题，可真能行，也可能真得不中。有些难题，原话是对的，反着说也是对的，那就有逆定理；有些难题，原话是对的，反着说就全错，那就不存有逆定理。
这就好比去超市买牛奶，你说“买了牛奶”，商家都认；但你反过来想“买了超市”，那商家可能懵了，出于超市里不一定都有卖牛奶。
故此，定理这东西，得看具体情况，不能一拍脑袋就说个“逆变”就完了。 先看最经典的例子，比如勾股定理。在直角三角形里头，两条直角边的平方加起来，等于斜边的平方。
这说法，哪位都不会否认。
要是反过来呢？要是两条边的平方加起来，等于第三边的平方，是不是就是直角三角形？这个反话，绝大多数人都能猜出来是错的。举个具体的数字例子，假设直角边是 3 和 4，那直角边平方加起来就是 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。
这确实摆明白是斜边长度 5，也就是勾股定理。可要是反过来凑，假设有一张三角形纸片，两条边长分别是 3 和 5，那 $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$，这绝对不等于另一边假设的平方根，要不就那根边本身的长度是 $sqrt{34}$ 哎，什么的，这就乱了。
要是我要构造一个非直角三角形，让它的两边平方和等于第三边的平方，比如设直角边是 5 和 12，那平方和是 $25 + 144 = 169$，那斜边就是 13，哎呀这不又勾股定理了。
要是你非要把这当成一个反例，让两边平方和等于第三边平方，结局却是个钝角三角形，那数据就彻底对不上号了。
反过来，要是存有一个三角形，它的两边平方和等于第三边平方，但它实际上是个钝角三角形，这就构成了一个真正的逆命题定理，这在几何里叫作勾股定理的逆定理。
不过大家心照不宣的是，在直角三角形的语境下，这个逆命题直接判定为假。
故此，勾股定理只有一个原话，没有逆命题。 再聊聊算术平均数大于几何平均数。对于两个正数，算术平均数肯定比几何平均数大要么相等。
这是初中就学过的，哪位都会背。
那反过来呢？要是两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，是不是这两个数就得相等？这也是“定理”级别的判断。
比如取两个正数 1 和 4，算术平均数是 2.5，几何平均数是 2。确实 2.5 大。
那反过来，要是算术平均数是 2.5，几何平均数也得是 2.5，那这两个数才能是 1 和 4 吗？不一定，那俩数可能是 2.5 和 2.5，这时候算术平均数也是 2.5，几何平均数还是 2.5，确实相等。但要是是 1 和 4，算术平均数是 2.5，几何平均数是 2，不等。
故此，要是一个条件成立（算术平均数等于几何平均数），能不能推出两个数相等？这个命题本身就是错的，出于存有两个不等于的数知足等式。
什么的，我刚刚理解反了。原命题是：要是两个数相等，那么它们的算术平均数等于几何平均数。
这是对的。逆命题是：要是两个数的算术平均数等于它们的几何平均数，那么这两个数相等。
这个逆命题是确实啊。
故此，对于相等和不相等的关系，确实存有逆定理。
不过，要是是说“要是两个数不等，那么它们的算术平均数一定大于几何平均数”，这就错了，出于 1.5 和 1.5 本身就不相等，但它们知足算术等于几何。
故此，原命题一般是对的，但逆命题不一定是对的。 几何里的定理也有类似的。
比如相似三角形。
要是两个三角形相似，对应角相等，对应边成比例。
这说法没错。
反过来，要是对应角相等，对应边成比例，是不是两个三角形就相似了？这也是对的，这就是相似三角形的判定定理之一。
故此相似三角形定理，确实有逆定理，并且它自己的逆命题还是成立的。
那有没有定理，原命题是对的，但逆命题彻底不对呢？比如，平行的直线被第三条直线所截。
要是同旁内角互补，那么这两条直线平行。
这是对的。
那反过来，要是这两条直线平行，同旁内角互补，那它们自然还是平行的。
故此平行线的性质，逆命题也是对的。再比如，圆的定义。圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
这也没错。
反过来，要是在平面上找一个点，到定点的距离等于定长，那它不就是圆上一点吗？这也是对的。
故此圆的定义，逆命题也是成立的。 反例的关键在于，有些定理的逆命题别看逻辑上看起来“像”对的，但一旦代入具体的数值要么具体的几何条件，就会发现它不成立。
比如一个不严谨的命题：“要是一个数能被 5 整除，那么它的末位数字是 5 或 0。”这个原命题是对的（自然还有 0 被 5 除的情况，不过一般指正整数）。但它的逆命题：“要是一个数的末位数字是 5 或 0，那么它一定能被 5 整除。”这在数学上是错的。出于 35 能被 5 整除，但 15 也能。
这是逆定理吗？不中，出于逆命题本身是假的。原命题是真，逆命题是假，那这个定理就不存有逆定理。但题目问的是“所有的定理一定有逆定理吗”，既然有些定理原命题真逆命题假，那反过来，有些定理原命题真，逆命题也真，那它们就有逆定理。有些定理原命题真，逆命题假，那它既没有逆定理，也没有逆定理（出于逆命题不成立）。 在逻辑学上，“逆定理”这个词用得挺准的。
要是有个命题 $P implies Q$，而 $Q implies P$ 也成立，那我们就说 $P iff Q$，叫作“等价”要么“逆定理”。但在大量基础教材里，当我们说“勾股定理有逆定理”时，实际上是在暗示勾股定理的逆命题，即“若 $a^2 + b^2 = c^2$，则 $triangle ABC$ 为直角三角形”，这是一个真命题。
故此，当我们要说某定理有逆定理时，意味着它的逆命题也是定理级别的真理。 总结一下，所有定理都一定有逆定理吗？答案是肯定的，只要逆命题也是真命题。
要是逆命题是假的，那它就不是定理，自然也不存有逆定理。有些定理的原命题是确实，逆命题也是确实，那它们就有逆定理。有些定理的原命题是确实，逆命题是假的，那它们就没有逆定理。
故此，定理和逆定理的关系是双向的：有的定理既有原定理，也有逆定理；有的在其中一个成立时，另一个不成立。说所有定理一定有逆定理，这个说法本身是站不住脚的，出于存有原命题真但逆命题假的例子。
不过，从“存有性”的角度来说，只要一个定理存有，一般就有其对应的逆命题，只是真假未知。
只有在逆命题失效时，我们才说该定理没有逆定理。
故此，定理不一定有逆定理，但定理的逆命题可能是定理，也可能是假命题。题目问的是“一定有逆定理吗”，既然有些定理的逆命题是假的，那就不存有逆定理的情况，故此答案是否定的。 有些读者可能会认定“定理”本身就包含了逆定理的意思，出于像勾股定理、相似三角形这些，大家一听就知其中包含逆命题是确实。但这只是民间用法，严谨的逻辑里，定理定义的是原命题，逆定理是另一个独立的真命题。
故此，定理并不必然伴随逆定理。 最终说句大实话，数学里最让人头疼的，就是那些看起来逆命题真，数据凑不出来，结局发现实际上是假的定理。
比方说，有些数学家搞出来证明过，$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + dots = 1$，这显然是错的，但为了凑个逆定理的繁华，强行编个假命题。
不过我们聊聊的是真正的定理。对于真正的定理，比如勾股定理、平行线判定，它们的逆命题往往都是真命题，故此存有逆定理。但对于像“若两个数不等，则它们的算术平均数大于几何平均数”这种明显错的逆命题，它的原命题是错的，故此谈不上逆定理的难题。 故此，结论是，所有的定理不一定有逆定理。有的有，有的没有。
关键在于看逆命题是否成立。