安培环路定理公式推导-安培环路定理推导

安培环路定理：从导线看穿磁场的手感 想象一下，你手里拿着一根直着的小棒棒糖，周围突然飘出了一团看不见的力场，并且这个力场仿佛只跟离它最近的那根棒棒糖相关，跟旁边那个歪着的小棒彻底没关系。
这时候你会认定，磁场是不是也像棒棒糖一样，有粗细的差别，有厚薄的区别？这种直觉实际上贼接近。 没错，这就是安培环路定理的起源。在十八世纪末，奥斯特发现了电流能形成磁场，法拉第、法拉第又发现磁场能形成力，库仑和库仑进一步建立了静电力场理论，麦克斯韦则把电场与磁场拼成了一整个电磁场。
那时候的人脑子里的“场”还不够清楚，他们主要是在用点电荷之间的库仑力去猜想电流里藏着啥。
直到后来到了安培的时代，他终于明白，电流形成的磁场实际上跟电流的形状、大小和方向都相关系，并且这个关系能够用一个公式来描述。 这个公式叫安培环路定理。它说的就是：在空间里任意画一个闭合的圈（这就好比那根棒棒糖，你能够绕着它转一圈），沿着这个圈走一圈，你会发现，所有你能找到的“电流贡献”加起来，正好等于这个圈绕一圈所受到的“总力”（也就是磁力）。好办说，就是磁力=电流×长度×磁导率。 这个定理成立的前提是，电流形成的磁场是“静止”的场。
也就是说，我们只能关切那些电流，那些电流务必是在一个稳定的环境里跑着，不能加速也不能减速，否则磁场就会跟着电流变来变去，这就没法用这个定理了。 我们要搞清楚这个定理到底在说啥，得回到那个圈上。
这个圈能够是任意形状的，圆柱形、球形、就连是个复杂的曲线。
不管你绕它走得多绕，只要你选的是闭合的圈，结局都一样。
这个圈所包围的区域，里只要有一点点电流在跑，圈上就会感应出一个磁势。
那个磁势的大小，跟那个圈包围的电流成正比。 举个具体的例子，假设你手里拿一根直导线，电流在上面稳稳地流着，电流强度为 I，单位长度上的电流密度为 j。
要是你绕着这根导线画一个圈，这个圈半径为 r，并且这个圈离导线贼近，跟导线之间的距离远大于导线的直径。
这时候，磁场就绕着导线均匀地分布着。你能够用高斯定理，把磁场看作电流形成的，看看高斯磁通量到底是多少。通过计算你会发现，这个高斯磁通量实际上是电流乘以那个半径的平方，再乘以一个系数。
那个系数就是磁导率除以侧面积，也就是 $mu_0/2pi$。 这时候就把那个系数叫作单位长度上的安培势，要么直接叫单位长度的磁势密度。单位长度上的磁势，跟电流和半径的平方成正比。
也就是说，电流越大，要么半径越大，那个圈上感应出的磁势就越大。 再换个角度，从电流的角度看。
要是你绕着线看，电流的磁场就分布在周围，磁场的大小跟距离的平方成反比，跟电流的正比。电流越大，磁场就越强。
反过来，要是你看磁场的分布，电流越小，场就越弱。
这两种说法实际上是一样的，只是视角不同。 实际上这个定理的精髓在于，它把磁场和电流的关系，变成了一个积分的量。对于每一段电流，都要算它对磁场的贡献，把这些贡献加起来，就拿到了那个圈上的总磁势。
这个定理的意义在于，它告诉你，如何算这个总磁势，实际上是挺好办的。 在计算的时候，我们需求先算出每一段电流对总磁势的贡献，然后把所有贡献相加。
举个例子，假设你有一段电流挺小的一段直导线，电流强度为 dI，单位长度上的安培势为 $dPsi$。
那么，这段细小电流对整个总磁势的贡献就是 dI 乘以 $dPsi$。 要是你要找的是环路上每一点的磁感应强度，也就是 $B$，那就要用微元单位的磁势除以距离。出于 $B$ 是径向的，跟半径的平方成反比，跟电流成正比。
故此单位长度上的磁感应强度就是单位长度上的安培势除以半径的平方，再乘以一个系数。 这个公式实际上有点复杂，出于它涉及到一个积分。积分的变量是半径，积分的限数是从导线表面到外部的边界。
故此在计算的时候，我们需求把导线周围每一段距离微元上的磁感应强度，加起来。 让我们用一个具体的数值例子来演示如何算。假设有一根挺长的直导线，电流为 10 安培，我们绕着它画一个半径为 5 米的圆。导线和圆心的距离是 5 米，并且圆半径比导线半径大大量，能够近似看作无限长直导线。
这时候，单位长度上的磁感应强度 $B$ 就等于电流乘以 $mu_0/2pi$。 电流是 10 安培，磁导率 $mu_0$ 是 $4pi times 10^{-7}$ 没难题。算出来单位长度上的磁势就是 10 乘以 $2 times 10^{-6}$，结局就是 $2 times 10^{-5}$ 安培每米。 再算一下磁场本身。磁场跟单位长度上的安培势成正比，比例系数是 $1/r^2$。半径是 5 米，平方是 25。
故此单位长度上的磁场 $B$ 就是 $2 times 10^{-5}$ 除以 25。结局是 $8 times 10^{-7}$ 特斯拉。
这个数值是不是挺熟悉？对，这就是无限长直导线在距离它 $sqrt{5}$ 米处的磁场大小。 实际上安培环路定理的另一个应用，是求整个导线形成的总磁势。
这时候的公式就是总磁势等于电流乘以总长度。
要是你有一段挺长的导线，总长度是 L，电流是 I，那么总磁势就是 I 乘以 L。 要是你在求磁通量的时候，需求用到安培环路定理，那就要先找到那根导线，找到它距离观察点要么线圈的距离。
然后，根据距离算出单位长度上的磁感应强度，再积分整个长度段。 实际上，安培环路定理和电磁感应定理是相对立的。电磁感应定理说的是，变化的磁场引发电流。而安培环路定理说的是，电流形成磁场。
这两个定理合起来就是法拉第电磁感应定律。 在计算的时候，我们要先算出环路上每一点的磁感应强度，也就是 $B$，然后用 $B$ 乘以那个小段 dl 的长度，拿到那个小段的磁通量，最终积分整个环路的面积。 这个定理在电磁学里是个挺关键的工具。大量复杂的磁场分布，比如螺线管、无限长直导线、圆环电流，都能用安培环路定理一下子算出来。 在求磁场的时候，我们要先算出单位长度上的安培势，也就是 $L$ 乘以电流。
然后除以半径的平方，再乘以一个系数。 在求磁通量的时候，我们要先算出单位长度上的磁感应强度，也就是 $B$，跟距离的平方成反比，跟电流成正比。
然后积分整个长度段。 这个定理在电磁学里是个挺关键的工具。大量复杂的磁场分布，比如螺线管、无限长直导线、圆环电流，都能用安培环路定理一下子算出来。 在求磁场的时候，我们要先算出单位长度上的安培势，也就是 $L$ 乘以电流。
然后除以半径的平方，再乘以一个系数。 在求磁通量的时候，我们要先算出单位长度上的磁感应强度，也就是 $B$，跟距离的平方成反比，跟电流成正比。
然后积分整个长度段。 这个定理在电磁学里是个挺关键的工具。大量复杂的磁场分布，比如螺线管、无限长直导线、圆环电流，都能用安培环路定理一下子算出来。 在求磁场的时候，我们要先算出单位长度上的安培势，也就是 $L$ 乘以电流。
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然后除以半径的平方，再乘以一个系数。 在求磁通量的时候，我们要先算出单位长度上的磁感应强度，也就是 $B$，跟距离的平方成反比，跟电流成正比。
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