九章算术勾股定理经典题-九章勾股定理经典例题

那会儿在算学屋里，大伙儿没几个真懂“勾股”这两个字的人，大约认定这是个专门给神仙算账的玩意儿。我把那堆乱七八糟的竹简往上一抖，心里头琢磨着，咱得把这事儿理清楚。
你看那大衍之数，那是规矩，可人算难，不如竹简现成的。老黄公和老春儿在边上盯着，老黄公眯着眼，老春儿挠了挠头，嘴里倒是念叨着些“规矩”二字，但心里头却是一头雾水。 说是“勾股”，实际上不过是画个直角，量出三边，看看能不能逢三。老黄公把算筹往地上一摆，一张直角图就摆出来了，两边是“勾”，一边是“股”。
这图儿看着挺好办，可把人带进去，心也就亮了。
那会儿只知平方，知三乘九，知八乘四，那都是死记硬背的规矩。老黄公指着那所谓的“大衍”说，那可不是记个数，是知道个理。道理就是：只要这两条腿（直角的两边）加起来，比第三边（斜边）短一点点，剩下的局部——也就是那“股”——加起来，就得比斜边还长。
这就对了！ 光有道理不够，还得会算。老黄公叫了一帮人，让他们去校场挑两根木料，一根做“股”，一根做“勾”。
这木料得选得直，不然扯平了一个角，哪还有规矩？挑好的木料，老黄公把最粗的那根叫“股”，次粗的叫“勾”。
如何测？不是靠眼看，是得量。量出一段，得知道它等于几。
这得靠周髀算经上的“日”，要么直接用算筹给个准数。 咱就举个最好办的例子。老黄公指着那根叫“股”的木料，问大家：“这一段是多少？”众人都齐声答道：“是五。”老黄公点点头，又指着那根叫“勾”的木料问：“这一段呢？”众人齐声：“也是五。”老黄公高兴了，眼一亮：“好！五加五等于十，正好等于两倍的股。
这规矩就全对喽！”这时候，老黄公才想起，刚刚那个“大衍”的规矩，实际上早就隐含在这五和五里了。
这就是那个传说中的“勾股定理”的雏形。 可要说得透彻，还得再试个大一点的。老黄公又拿了一根叫“股”的木料，让人量出“七”。
这木料得略微粗点，不然量不准。量出“七”之后，老黄公又拿了一根叫“勾”的木料，让人量出“三”。
这时候，大伙儿都傻眼了。七加三等于十，但乘以六等于六十。
如何就六十呢？这时候老黄公才反应过来，刚刚那个规矩，实际上是想说“股”乘以“股”等于“股”的平方？不，不对。
当时的规矩是“股”乘以“股”等于“股”的平方，这是乘法。可这“勾股”的理，是“股”加“勾”来等于“股”的平方，这是加法。 老黄公看着大家愣住的样子，心里暗道：这就叫“变通”。
那会儿只知“股”对“股”，目前得让“股”和“勾”一起动起来。咱们把刚刚量出来的“股”和“勾”加起来，变成了十。
这时候，老黄公突然灵机一动，想：既然加起来是十，是不是能不能反过来算？把“股”减去“勾”，就是“勾”本身？不对，得是“股”减去“股”等于“勾”？也不对。 这时候，老黄公想起了某个典故。有个叫“勾股定理”的图，画得像个曲尺。
那就是个直角梯形。把直角梯形的一条边延长，补成一个大正方形。
这时候，斜着的那条线（也就是“勾”），是不是等于“股”减去“勾”？不对，得是“股”减去“勾”等于“勾”？也不对。 咱再重新理一遍。老黄公看着那“股”和“勾”。股是七，勾是三。七加三等于十。
这时候，老黄公认定，既然七加三等于十，那这十乘以六等于六十。
这六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。可“股”加“勾”等于“股”的平方，这是加法。 老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“股”的平方，这是乘法。
不对，那是乘法口诀。 这时候，老黄公突然想起《九章算术》里那句：“两股之长等，并之如弦。”意思是说，两段股一样长，加起来等于弦长（也就是斜边）。
那“股”在其中代表啥？ 老黄公看着那根“股”，它是直角边。
那“勾”呢？它也是直角边。
那“股”和“勾”加起来，是不是等于“勾”的平方？不对，那是勾股定理的另一种说法。 这时候，老黄公恍然大悟。他想起一个更好办的说法：“股”代表直角边，“勾”也是直角边。
那“股”加“勾”等于“勾”的平方？不对，得是“股”加“勾”等于“股”的平方？也不对。 那到底是哪位对哪位等于哪位？ 咱们换个角度。老黄公指着那根“股”问：“要是我把这根‘股’的长作为平方数，那‘勾’的长是多少？” 众人齐声：“是五。” 老黄公盯着那五，心里琢磨着：“要是‘股’是五，那‘股’的平方是二十五。
那‘勾’的五，平方是二十五。
没错。” 这时候，老黄公又指着那根“勾”问：“要是我把这根‘勾’的长作为平方数，那‘股’的长是多少？” 众人齐声：“也是五。” 这时候，老黄公心里一动。
要是“股”是“勾”的平方，那“勾”就是“股”的平方根。
要是“勾”是“股”的平方，那“股”就是“勾”的平方根。 这时候，老黄公突然灵机一动。他想起《九章算术》里那句：“勾股皆倍之。”意思是说，勾股都乘以二，等于弦长。 哦！原来如此！ 那“股”乘以“股”等于“股”的平方，这是乘法。 那“勾”乘以“勾”等于“勾”的平方，这是乘法。 这时候，老黄公看着那根“股”，又认定这规矩怪怪的。杆子长，它的平方应当更长才对。 这时候，老黄公突然想起了一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘勾’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
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要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
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是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
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是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
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要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
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那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
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那六十如何来的？
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要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
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要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
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要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
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是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
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这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
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这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
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这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
是不是“股”乘以“股”等于“股”的平方？那是乘法。 这时候，老黄公陷入了沉思。他突然认定，或许不是“股”加“勾”等于“股”的平方，而是“股”加“勾”等于“勾”的平方？ 不对，这也不对。 这时候，老黄公突然想起一个更直观的说法。他说：“把‘股’的长加‘勾’的长，等于‘股’的长。” 不对，这忒荒谬了。 那咋办？ 老黄公看着那根“股”，又看了看那根“勾”。他突然认定，或许“股”不是“勾”的平方，而是“勾”加上“股”？ 这时候，老黄公突然想到一个更好办的例子。
要是“股”是五，那“勾”也是五。五加五等于十。
这时候，老黄公认定，这十乘以六等于六十。
那六十如何来的？
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