毕达哥拉斯定理的证明-毕达哥拉斯定理证法

皮克的骨板：把正方形当成积木 想象一下，你有两块同样大小的正方形板子，要么说是两块火柴搭成的正方形。你拿起它们，把一根长长的棍子，一局部搭在这块板子上，另一局部搭在那块板子上，直到棍子碰到两个板子的角。
这时候，棍子构成了一个直角三角形，它的两条直角边就是原来那两个正方形的边，而夹在中间的角，恰好是两个正方形重叠的局部。 这时候你会有个直觉，这算不算个公式？在数学里叫“毕达哥拉斯定理”，也就是勾股定理。
实际上说白了，就是这个道理：在一个直角三角形里，两条直角边的长度的平方加起来，等于斜边长度的平方。至于“直角”长啥样，如何搭，那是另一套逻辑，但结论是硬道理。 为了让人类听懂，我们能够用更生活化的语言，就连带点幽默感。古希腊有个数学家，叫毕达哥拉斯。他干啥的？搞几何的。他有个本事，能把抽象的图形变成你能看懂的积木。
比方说，他给一个直角三角形建个模型，量出两条直角边，发现它们的平方和，正好等于斜边的平方。
这听起来挺玄乎，但毕达哥拉斯有个绝活，他喜爱把概念具象化。 有一次，他教学生在黑板上画一个三角形。他画了一条长直线，然后画了个直角，接着从直角顶点画两条线，把那个角分成了两半。他又画了两条线，从另外两个顶点连向分界点。目前黑板上全是线，看着像迷宫。毕达哥拉斯说：“别急，咱们别想那些复杂的，咱们用平方来算。” 他叫学生拿尺子去量。先量出上面那条短直角边的长度，跟它的平方（也就是边长乘边长）。再量出下面那条长直角边的长度，跟它的平方。最终把这两个数加起来。神奇的是，这个总和，恰好等于斜边长度的平方。学生别看没听懂背后的微积分思维，但心领神会。 这就好比两个人玩跳房子。一人站在第一格，一人站在第二格。他们要跳到第三格。
第一格到第三格的距离，是不是等于第一格到第二格的距离加上第二格到第三格的距离？废话。
同理，直角边到斜边的距离，也得等于两条直角边分别到斜边距离的相加。别看这话听起来有点绕，但毕达哥拉斯用这种直观的“叠加”思想，解释了为啥两个直角边的平方加起来，等于斜边的平方。 自然，这只是个推测。人类自古以来，对勾股定理的由来有大量故事版本，有的说是占婆国的工匠推算出来的，有的是毕达哥拉斯的学生算出来的。有些版本说他在岛屿上瞎猜，有些说他在河边钓鱼时看到了影子。故事嘛，就听听看。
重点是结论：只要是个直角三角形，不管它长啥样，勾股定理一辈子成立。 你想看看这个定理到底如何来的？
如何从那个不靠谱的猜想变成数学界的金科玉律？那就得回到那个充满挑战的数学屋里。毕达哥拉斯的学生在黑板上画了一堆线，那是个直角三角形，但他不知道长度。他让旁边的人在旁边画个正方形，边长正好等于那个三角形的斜边。
然后他又让另外两个人画那两个直角边的正方形。 这时候，数学老师就拿着尺子，量了那些正方形。画得越大，量出来的边长越长，平方数自然就越大。学生们启动愣住了地发现，两个直角边正方形的面积加起来，竟然和那个斜边正方形的面积一模一样。
这不就是“平方和等于斜边平方”吗？ 但难题来了，毕达哥拉斯是个挺嚴肅的人。他发现这个猜想别看对某些特殊图形成立，但能不能推广到所有直角三角形？能不能推广到那些不是直角边的图形？故此，他需求证明。他不能光靠量，得靠逻辑。为了证明，他启动研究各种各样的直角三角形，不管它们多大，不管它们如何画。 他发现了一个惊人的规律：甭管直角边多长，只要是个直角三角形，这个规律就一辈子不变。
哪怕图比你的家门还大，哪怕图比你的地球还大，这个规律都成立。
这打破了数学界的常规思维。
那会儿人们认定，这种关系只在特定情况下成立，比如古代人可能认定只有某些特定的三角形才适用。但毕达哥拉斯把这些想法都颠覆了。 便，他挑了个最好办、最好办理解的情况启动证明。他画了个直角三角形，量出直角边，算出平方，加起来等于斜边平方。他拿这块板子盖住，又拿那块板子盖住。目前两块板子压在一起了，总共有多少面积？那就是直角边面积加上斜边面积。而整个图形被分成了三局部：两个直角边的正方形，还有一个中间的三角形。
这时候，要是你把那个斜边拆开，两个直角边也拆开，你会发现拼起来正好是两个斜直角边的正方形。 这一下就通了。毕达哥拉斯证明白，两个直角边正方形的面积加上中间那个三角形的面积，确实等于斜边正方形的面积。
更进一步的，他把那个三角形拆分成四个小三角形。他发现，这四个小三角形拼起来，正好组成两个直角边正方形。出于中间那个三角形的面积是恒定的，故此，直角边的面积平方之和，必然等于斜边面积平方。 别看这个证明过程在当时可能还不算完美，就连有人认定毕达哥拉斯是用“假设”去证明“假设”，但在后世，这个思路被继承下来，不断修正。现代数学家们用更严谨的逻辑，就连到了微积分的地步，才给出了最完美的证明。但至今为止，毕达哥拉斯的证明思路——把图形拆分成根本单元，然后对加起来——依然是数学史上最优雅、最直观的方式之一。 这个故事里就藏着数学的奥秘。毕达哥拉斯不仅算出了答案，他还打开了一个新世界的大门。他把正方形当成了积木，把数字当成了语言，把未知的变成了已知的。他证明白，只要有两个直角，这个关系就存有。甭管图形多么宏大，甭管世界多么复杂，这个好办的几何公式，就是永恒的真理。 故此，下次当你看到一张直角三角形，要么哪怕是在生活中遇到的那个“两个边加起来等于斜边”的情况时，你要知道，这背后有一个人，用他自己的方式，把几百年的数学史都串联起来了。他用一块板子，讲了一个关于角度、长度和平方之间的故事，这个故事，至今仍在耳边回响。