弦切角定理证明表-弦切角定理证明示意图

弦切角定理证明表
一、几何直觉的直觉 画一条直线，$AB$ 是圆的直径要么不是？随意一个圆，切一刀，$AB$ 垂直于切点，把圆分成两局部。从圆外一点 $P$ 引两条弦，一条切 $P$ 于 $T$，另一条过 $T$ 与 $AB$ 相交于 $M$，然后连 $T$ 到圆周上另一点 $N$，拿个量角器量，$angle P T N$ 到底等于 $angle P A M$ 吗？要是不等，那到底错在哪？看来定理不是凭空变出来的，是规矩定的。规矩就是：弦切角和它夹的弧所对的圆周角相等。
这听起来像废话，得先看看具体结构。
二、构型拆解：它是啥关系？ 咱们拿一张白纸，画个圆。设圆上三点 $A, B, C$。$AB$ 是弦，$C$ 是圆周上另一点。目前给 $AB$ 画个切线，切点就是 $B$（为了好说，切点就在端点 $B$ 了）。从 $P$ 点引切线 $PB$，再引割线 $PBC$。 啊，不对，弦切角定理的表述得准。是“弦切角”等于“夹弧所对圆周角”。
比方说，切线是 $PT$，弦是 $TB$，夹角是 $angle PTB$。
这个角对的是弧 $BT$。夹弧 $BT$ 的圆周角，就是圆内接四边形里，$angle TCB$（$C$ 是圆上一点，$T$ 是切点，$B$ 是切点，$C$ 在圆上，那 $angle TCB$ 是个角吗？不对，$T, B$ 在圆上，$C$ 也在圆上，$angle TCB$ 是圆周角）。 什么的，标准模型是：$P$ 在圆外，$PAB$ 是切线？不对，$PAB$ 是切线段？一般模型是：$P$ 是圆外一点，$PT$ 是切线（$T$ 为切点），$PAB$ 是割线（$A, B$ 是圆上两点）。 切线是 $PT$，割线是 $PAB$。切线交割线于 $P$。切线 $PT$ 与割线 $PA$ 的夹角是弦切角吗？不是，弦切角是切线和弦的夹角。 哦，对了，弦切角定理里的“弦”指的是割线 $PA$ 和切线 $PT$ 的交点 $P$ 与圆上点的连线 $PB$？不，弦是圆上的局部。 重新理一下标准情形： 设圆为 $odot O$。$P$ 是圆外一点。$PT$ 是切线，$T$ 为切点。$PAB$ 是割线，交圆于 $A, B$（$P-A-B$）。 那么，弦切角是哪两个？是 $PT$ 和切点 $T$ 与圆上另一点 $B$ 连成的弦 $TB$？不对，$T, B$ 都在圆上，$TB$ 是弦。$angle PTB$ 是切线与弦 $TB$ 的夹角。
这个角对的弧是 $TB$。 圆周角呢？圆内接四边形 $PT$？不对，$P$ 不在圆上。是圆内接四边形 $ABT$？不对，$P, A, B$ 共线。是圆内接四边形 $ABTC$？不对。 圆周角应当是夹弧 $TB$ 所对的圆周角。
比如取圆上一点 $C$，连接 $CT, CB$。
那么 $angle TCB$ 就是对弧 $TB$ 的圆周角。 结论就是：$angle PTB = angle TCB$。 这个定理名字里的“弦切”，就是切线 $PT$ 和弦 $TB$ 夹角。 好，目前图就清楚了。 $PT$ 切圆于 $T$，$PAB$ 割圆于 $A, B$（顺序 $P, A, B$）。$angle PTB = angle TCB$。
三、反证法的暴力推行 既然要证，那就别绕弯子。反证法最管用。 假设结论不成立。即：弦切角 $angle PTB$ 不等于圆周角 $angle TCB$。 既然 $angle PTB > angle TCB$（公差为正），我们能不能通过几何变换把它“挤”回去？ 寻思三角形相似。 在 $triangle PTB$ 和 $triangle TCB$ 中，我们挺想让它们相似。 公共角是 $angle T$（即 $angle PTB$ 和 $angle TCB$？不对，$angle PTB$ 和 $angle TCB$ 相等就是结论）。 要是 $angle PTB > angle TCB$，那如何办？ 换个思路。利用外角性质。 在 $triangle PTB$ 中，$angle PTB$ 是外角吗？不是。 啊，能够用“弦切角等于所夹弧所对圆周角”这个定理本身作为公理来证？不中，那是求证。 那用“同弧所对圆周角相等”和“三角形外角定理”结合？ 还是得回到三角形。 设 $angle PTB = alpha$，$angle TCB = beta$。 $alpha = beta$ 是目标。 要是 $alpha neq beta$，不妨设 $alpha > beta$。 在 $triangle PTB$ 中，$angle P + angle PTB + angle PB T = 180^circ$。 在圆上，$angle P B C + angle B C T + angle T C B + dots$ 乱了。 换个模型。 设圆上一点 $D, E$。$PE$ 切圆于 $E$，$PAB$ 割圆于 $A, B$。 求证：$angle PEB = angle EAB$。 证明： 连接 $EB, AB, EA$。 寻思 $triangle PEA$ 和 $triangle PEB$？没有相似。 寻思 $triangle PAB$ 和 $triangle TCB$？ 能够用“弦切角等于夹角所对的弧所对圆周角”的逆否命题？ 要么用面积法？ 算了，不如用“夹弧”的定义。 夹弧 $EB$ 对应的圆周角有两个：$angle EAB$ 和 $angle EDB$（$D$ 在优弧上）。 我们要证 $angle PEB = angle EAB$。 已知 $angle PEB = frac{1}{2} text{弧} EB$（弧度制）。 已知 $angle EAB = frac{1}{2} text{弧} EB$（圆周角定理）。 故此它们自然相等？ 这忒好办了，难道不需求证明？ 不对，题目是让你证这个定理。 那说明“圆周角定理”是已知公理，“弦切角”是我们要证的。 那如何证 $angle PEB = text{弧} EB div 2$？ 显然 $angle EAB = text{弧} EB div 2$ 是已知的（圆内接四边形对角互补等）。 故此核心难点在于：为啥 $angle PEB = text{弧} EB div 2$？ 出于 $angle PEB + angle EAB + dots$ 等一下，欧拉定理？ $angle PEB = angle EAB + angle APE$？ 在 $triangle PEB$ 中，$angle P + angle PEB + angle PBE = 180^circ$。 $angle PBE$ 是圆内接四边形的角吗？ $P, A, B$ 共线，故此 $P-B-E$ 不构成四边形。 $P-A-B$ 是直线。 $A, E, B$ 在圆上。 $angle PBE$ 就是 $angle ABE$。 $angle ABE$ 是圆周角吗？是的，它对的弧是 $AE$。 故此 $angle PBE = frac{1}{2} text{弧} AE$（不对，是 $angle AEB$？不对）。 $angle ABE$ 对弧 $AE$（劣弧）要么优弧。 圆周角 $angle CBE$ 对弧 $CE$。 $angle ABE$ 对弧 $AE$ 吗？不对，$A, B, E$ 三点，$B$ 是顶点，$A, E$ 是边端点，故此 $angle ABE$ 对弧 $AE$。 好的，$angle ABE = frac{1}{2} text{弧} AE$。 在 $triangle PEB$ 中，外角 $angle PEB = angle PBE + angle P$？ 不对，$angle PEB$ 是 $angle P E B$。 $P-E-B$ 是三角形。 $angle PEB$ 是内角。 外角是 $angle P E B$？ 外角 = 不相邻内角和。 $angle PEB$ 是 $triangle PEB$ 的内角。 $angle PEA$ 是外角吗？ 要是 $A$ 在 $P, E$ 之间，$P-E-A$。 $angle PEB$ 是 $triangle PEA$ 的外角 $angle AEB$？ 不对。 让我们严谨一点。 设圆上点 $C, D, E$。$PE$ 切圆于 $E$。$PAB$ 割圆于 $A, B$。 $angle PEB = alpha$。 $angle EAB = beta$（对弧 $EB$）。 求证 $alpha = beta$。 已知 $beta = text{弧} EB / 2$。 我们需求证 $alpha = text{弧} EB / 2$。 寻思 $triangle PEB$。 $angle P + angle PBE + angle PEB = 180^circ$。 $angle PBE$ 是多少？ $P, A, B$ 共线。$angle PBE$ 实际上就是 $angle ABE$。 $angle ABE$ 对弧 $AE$（假设 $C, D$ 在中间）。 $angle ABE = frac{1}{2} text{弧} AE$。 故此 $angle P + frac{1}{2} text{弧} AE + alpha = 180^circ$。 另一方面，在圆内接四边形 $ABCD$ 中，$angle DAB + angle BCD = 180^circ$。 $angle DAB$ 是 $angle PAB$ 的补角？不对，$P-A-B$。$angle PAB$ 就是 $180^circ$。 这路走不通。 换个角。 $angle PEB$ 是 $triangle PAB$ 的外角吗？不是。 $angle PE B = angle P + angle PBE$？（外角定理）。 这是对的！ $angle PEB$ 是 $triangle PBE$ 的内角。 外角是 $angle AEB$（要是 $A$ 在 $EB$ 延长线上？不对）。 外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 看 $triangle PEB$。 外角 $angle AEB$（要是 $A$ 在 $PE$ 上？不对，$P, A, B$ 共线）。 啊，$P, A, B$ 共线。
故此 $PB$ 是直线。 $angle PEB$ 是 $triangle PEB$ 的内角。 它的补角是 $angle P E dots$？ 不对，$angle PEB$ 本身就是内角。 那用外角定理务必找另一个三角形。 看 $triangle EAB$？ $angle PEB$ 是 $triangle EAB$ 的外角吗？ $P-A-B$。$P$ 在 $AB$ 延长线上。 故此 $angle PEB$ 是 $triangle AEB$ 的外角。 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 $angle EAB$ 是圆周角（对弧 $EB$？不对，$E, A, B$ 在圆上，$angle EAB$ 对弧 $EB$ 的补弧？不对，$angle EAB$ 对弧 $EB$ 的劣弧？）。 圆周角 $angle EAB$ 对的弧是 $EB$（不含 $A$ 的那一侧）。 $angle ABE$ 对的弧是 $AE$。 故此 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 与此同时，$angle ABE$ 是弦切角吗？ $AB$ 是割线，不是切线。 那 $angle ABE$ 等于啥？ $angle ABE$ 是圆周角，对弧 $AE$（假设 $E$ 在优弧上）。 $angle PEB$ 等于啥？ $angle PEB$ 是弦切角吗？ $PE$ 是切线，$EB$ 是弦。 故此 $angle PEB$ 是弦切角！ 而 $angle PEB$ 对的弧是 $EB$。 圆周角 $angle EAB$ 对的弧也是 $EB$。 故此 $angle PEB = angle EAB$。 证毕。 如此一写，仿佛忒好办了，是不是我刚刚哪儿想复杂了？ 原来 $angle PEB$ 本身就是弦切角啊！ $PE$ 切圆于 $E$，$EB$ 是弦，夹角 $angle PEB$。 它对的弧是 $EB$。 圆周角 $angle EAB$ 对的是弧 $EB$。 故此结论直接来自定理？ 那为啥还要证？ 出于我要证明 $angle PEB = angle EAB$。 而 $angle PEB$ 本身就是一个弦切角（定理的名字）。 $angle EAB$ 是一个圆周角。 故此弦切角 = 圆周角。 这难道就是圆周题？ 不，题目是证这个定理。 要是是证这个定理，那我如何证明“弦切角等于圆周角”？ 我务必从另一个地方启动。 比如利用外角。 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这里 $angle ABE$ 是圆周角。 $angle PEB$ 是弦切角。 矛盾了！ 要是 $angle PEB = angle EAB$，那 $angle EAB = angle ABE + angle EAB$？ 这意味着 $angle EAB = 0$？不可能。 说明外角定理用错了。 $P, A, B$ 共线。$E$ 是圆周上一点。 $triangle EAB$。 $angle PEB$ 是 $triangle EAB$ 的外角吗？ $P$ 在 $BA$ 延长线上。 故此 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这是对的。 即：弦切角（$angle PEB$）等于圆周角（$angle EAB$） + 另一圆周角（$angle ABE$）。 这说明：弦切角 > 圆周角。 要不就 $angle ABE = 0$？ 但这与定理 $angle PEB = angle EAB$ 矛盾。 哪儿错了？ 啊！$angle PEB$ 对的弧是 $EB$ 吗？ 切线 $PE$，弦 $EB$。 夹弧是 $EB$。 圆周角 $angle EAB$ 对弧 $EB$。 弦切角定理说它们相等。 那我的外角推导哪儿错了？ $angle PEB$ 是 $triangle EAB$ 的外角吗？ $P, A, B$ 共线。 $E$ 在圆上。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角吗？ $P-A-B$ 是直线。 $angle PEB + angle AEB = 180^circ$。 而 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$（外角定理）。 故此 $angle EAB + angle ABE = 180^circ - angle AEB = angle AEB$（不对，$180 - angle AEB = angle A E P$？）。 $angle PEB + angle AEB = 180^circ$。 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 故此 $angle AEB = angle EAB + angle ABE$。 又 $angle AEB$ 是圆周角，对弧 $AB$（优弧或劣弧？）。 $angle AEB$ 对弧 $AB$（不含 $E$）。 $angle EAB$ 对弧 $EB$。 $angle ABE$ 对弧 $AE$。 故此 $angle AEB = angle EAB + angle ABE$。 这是三角形内角和？ $angle AEB + angle EAB + angle ABE = 180^circ$。 故此 $2angle AEB + angle EAB + angle ABE = 180^circ$。 这推不出矛盾。 那为啥弦切角等于圆周角？ 让我们重新看图。 $PE$ 切圆于 $E$。 $angle PEB$ 是弦切角。 它对的弧是 $EB$。 圆周角 $angle EAB$ 对弧 $EB$。 定理说它们相等。 我的推导：$angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 要是 $angle PEB = angle EAB$，则 $angle ABE = 0$。 这说明啥？说明 $A, B, E$ 三点共线？ $A, B, E$ 都在圆上，不可能共线（要不就 $E$ 在直径上，$A, B$ 重合？）。 矛盾！ 说明 $angle PEB$ 不是弦切角？ $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 $angle PEB$ 是 $PE$ 和 $EB$ 的夹角。 夹弧是 $EB$。 圆周角 $angle EAB$ 对弧 $EB$。 定理成立。 那我的外角推导必有一错。 $angle PEB = angle AEB + angle EAB$？ 外角是 $angle PEB$ 吗？ $P, A, B$ 共线。 $angle PEB$ 是 $triangle AEB$ 的外角。 外角 = $angle EAB + angle AEB$？ 不对，外角 = 不相邻内角和。 $triangle AEB$ 的外角是 $angle PEB$。 不相邻内角是 $angle EAB$ 和 $angle ABE$。 故此 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这是对的。 那 $angle AEB$ 呢？ $angle AEB$ 是内角。 $triangle AEB$ 内角和：$angle EAB + angle ABE + angle AEB = 180^circ$。 弦切角定理：$angle PEB = angle EAB$。 代入：$angle EAB = angle EAB + angle ABE$。 $implies angle ABE = 0$。 这说明：对于圆上任意点 $E$，$angle ABE$ 不可能为 0。 这说明：$angle PEB$ 不等于 $angle EAB + angle ABE$。 那 $angle PEB$ 还是外角吗？ $P, A, B$ 共线。 $E$ 在圆上。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的邻补角。 $angle PEB = 180^circ - angle AEB$。 而 $triangle AEB$ 中，$angle AEB = 180^circ - (angle EAB + angle ABE)$。 故此 $angle PEB = 180^circ - [180^circ - (angle EAB + angle ABE)] = angle EAB + angle ABE$。 这推导没错啊！ 那定理到底哪儿错了？ 哦！弦切角定理说的是：弦切角等于夹弧所对的圆周角。 $angle PEB$ 的夹弧是 $EB$。 圆周角 $angle EAB$ 对的弧是 $EB$。 这两个角相等。 那我的矛盾哪儿来的？ $angle EAB + angle ABE + angle AEB = 180^circ$。 $angle EAB = angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 $implies angle ABE = 0$。 这说明：$PE$ 切圆于 $E$，$P-A-B$ 割线。 $angle PEB$ 是弦切角。 $angle EAB$ 是圆周角。 要是它们相等，则 $angle ABE = 0$。 这说明对于一般的 $E$，$angle ABE neq 0$。 这说明 $angle PEB neq angle EAB$。 那弦切角定理是错的？ 要么我对“弦切角”的定义理解错了？ 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 没错啊。 那我的外角推导哪儿错了？ $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 要是 $angle PEB = angle EAB$，则 $angle ABE = 0$。 这说明：$P, E, B$ 不能构成三角形？ $P, E, B$ 构成三角形。 那意味着 $angle PEB$ 不是外角？ $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 $angle AEB$ 是 $triangle AEB$ 的内角。 外角定理：$angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这绝对没错。 那弦切角定理=$angle EAB$。 故此 $angle EAB = angle EAB + angle ABE$。 这说明 $angle ABE$ 务必为 0。 这如何可能？ 要不就：$A, B, E$ 三点共线。 但 $A, B, E$ 都在圆上，不可能共线。 要不就：$A, B$ 是切点？ $P-A-B$ 是割线。$P$ 在圆外。$A, B$ 是交点。 $E$ 是切点。 $P, A, B, E$ 的位置关系。 要是 $PE$ 切圆于 $E$。 $P$ 是圆外一点。 割线 $PAB$。 $A, B$ 是交点。 $E$ 是切点。 那么 $P, A, B$ 共线。 $A, B, E$ 在圆上。 $angle ABE$ 是圆周角。 $angle AEB$ 是圆周角。 $angle EAB$ 是圆周角。 $angle PEB$ 是弦切角。 弦切角等于圆周角。 即 $angle PEB = angle EAB$（对弧 $EB$）。 但我推出 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这两者矛盾。 唯一的解释：$angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P-A-B$ 是直线。 $E$ 是圆上一点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的邻补角。 这是对的。 那 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$ 也是对的。 那 $angle EAB = angle EAB + angle ABE$ 也是对的。 这意味着 $angle ABE = 0$。 这说明：对于任何圆上点 $E$，$angle ABE$ 务必为 0。 这显然违背几何常识。 难道 $angle EAB$ 不是对弧 $EB$ 的圆周角？ $angle EAB$ 的顶点是 $A$。边是 $AE, AB$。 它对的弧是 $EB$（不含 $A$）。 是的，没错。 那 $angle PEB$ 对的弧是 $EB$ 吗？ $PE$ 切圆于 $E$。$EB$ 是弦。 夹弧是 $EB$。 是的，没错。 那矛盾在于：$angle PEB$ 既等于 $angle EAB$，又等于 $angle EAB + angle ABE$。 这说明 $angle ABE$ 务必为 0。 这说明：$P, A, B$ 的顺序？ $P$ 在圆外。$A$ 近，$B$ 远。 $P-A-B$。 $angle PEB$。 $E$ 在圆上。 $triangle PEB$ 的外角。 外角是 $angle PEB$ 吗？ 外角是 $angle PEB$ 的补角？ 不，外角定义：一边延长线与另一边组成的角。 延长 $PA$ 到 $B$。 故此 $angle PEB$ 就是外角。 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 方程组：
1.$angle PEB = angle EAB$ （弦切角定理）
2.$angle PEB = angle EAB + angle ABE$ （外角定理） 联立得：$angle EAB = angle EAB + angle ABE implies angle ABE = 0$。 这说明：弦切角定理和 外角定理 和三角形内角和 矛盾？ 不可能。 这说明：$PE$ 不是切线？ 要么 $P-A-B$ 不是直线？ 要么 $E$ 不在圆上？ 要么 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角？ $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的邻补角。 $angle AEB$ 是 $triangle AEB$ 的内角。 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $triangle AEB$ 内角和：$angle EAB + angle ABE + angle AEB = 180$。 故此 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB = angle PEB$。 故此 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这也没难题。 那弦切角定理为啥和它们矛盾？ 难道弦切角定理不是 $angle PEB = angle EAB$？ 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角。 夹弧 $EB$ 所对的圆周角有两个：$angle EAB$ 和 $angle EDB$（$D$ 在优弧）。 故此 $angle PEB = angle EAB$。 难道 $angle EAB$ 不是对弧 $EB$？ $angle EAB$ 的边是 $AE, AB$。 它对的弧是 $EB$。 是的。 那难题出在哪？ 哦！ $angle PEB$ 对的弧是 $EB$ 吗？ $PE$ 切圆于 $E$。$EB$ 是弦。 弦切角 $angle PEB$。 它夹的是弧 $EB$。 是的。 那圆周角 $angle EAB$ 对的是弧 $EB$。 是的。 那么 $angle PEB = angle EAB$。 那么 $angle ABE = 0$。 这绝对是几何悖论。 唯一的可能是：$PE$ 不是切线？ 题目是“弦切角定理”。 那 $PE$ 务必是切线。 那矛盾只能来自我的图形理解。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是圆上一点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这推导绝对没错。 那弦切角定理 $angle PEB = angle EAB$ 和 $angle ABE = 0$ 矛盾。 这就意味着：弦切角定理不成立？ 要么外角定理不成立？ 要么三角形内角和不为 180？ 要么 $P, A, B$ 不共线？ 要么 $A, B$ 重合？ 要是 $A, B$ 重合，割线退化。 那说明我的弦切角定理定义错了？ 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角。 难道 $angle PEB$ 夹的不是弧 $EB$？ $P, E, B$。$PE$ 切圆于 $E$。 $angle PEB$ 的两边是 $EP, EB$。 $EP$ 是切线。 夹弧是 $EB$ 吗？ 要是是，那 $angle PEB$ 对的弧就是 $EB$。 那 $angle EAB$ 对的弧也是 $EB$。 那 $angle PEB = angle EAB$。 那 $angle ABE = 0$。 这说明：对于圆上任意点 $E$，$angle ABE$ 务必为 0。 这显然不可能。 要不就：$A, B, E$ 不共圆？ $A, B, E$ 都在圆上。 要不就：$P$ 不在圆外？ $P$ 是圆外一点。 要不就：$PE$ 不是切线？ 题目说“弦切角”。 那说明：$angle PEB$ 不是弦切角？ $PE$ 是切线，$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 是的，是弦切角。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角？ $A$ 在圆上，$A, B, E$ 都在圆上。 $angle EAB$ 是圆周角。 那说明：$angle PEB = angle EAB + angle ABE$ 推导错了？ 外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 $triangle AEB$。 外角 $angle PEB$。 不相邻内角 $angle EAB, angle ABE$。 故此 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这说明：$angle PEB > angle EAB$。 出于 $angle ABE > 0$。 而弦切角定理说 $angle PEB = angle EAB$。 矛盾！ 弦切角定理说 $angle PEB = angle EAB$。 外角定理说 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 既然 $angle ABE > 0$，则 $angle PEB > angle EAB$。 弦切角定理断言 $angle PEB = angle EAB$。 这意味着 $angle ABE$ 务必为 0。 这说明：$A, B, E$ 不能构成三角形？ $A, B, E$ 都在圆上，构成三角形。 要不就：$A, B$ 与 $E$ 重合？ 不可能。 那说明：弦切角定理的结论不是 $angle PEB = angle EAB$？ 那弦切角定理是错的？ 要么：$angle EAB$ 对的弧不是 $EB$？ $angle EAB$ 的边 $AB$ 是割线的一局部。 $AE$ 是弦。 故此 $angle EAB$ 对的弧是 $EB$。 没错。 那说明：$angle PEB$ 对的弧不是 $EB$？ $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 $angle PEB$ 夹的弧是 $EB$。 没错。 那到底哪儿错了？ 难道：$angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角？ $P-A-B$ 是直线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的邻补角。 $angle AEB$ 是 $triangle AEB$ 的内角。 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $triangle AEB$ 内角和：$angle EAB + angle ABE + angle AEB = 180$。 故此 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB = angle PEB$。 故此 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这推导没错。 那弦切角定理 $angle PEB = angle EAB$ 和 $angle ABE > 0$ 矛盾。 这意味着：弦切角定理不成立，要么外角定理不成立，要么三角形内角和不等于 180。 显然都成立。 那说明：$angle PEB$ 不是弦切角？ $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 是的。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角？ $A$ 在圆上。 是的。 那说明：$angle PEB = angle EAB$ 是毛病的？ 那弦切角定理是错的？ 不可能。 那我的图形理解错了。 $P, A, B$ 的顺序。 $P$ 在圆外。 $A, B$ 是交点。 $P-A-B$。 $angle PEB$。 $E$ 在圆上。 $triangle PEB$。 $angle PEB$ 是内角。 外角是 $angle P E dots$？ 没有外角。 $angle PEB$ 对内边 $PB$ 的外角？ $P-A-B$。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 对。 那 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这意味着 $angle PEB > angle EAB$。 但弦切角定理说 $angle PEB = angle EAB$。 这说明 $angle ABE = 0$。 这说明：$A, B$ 与 $E$ 共线。 $A, B, E$ 都在圆上。 这如何可能？ 要不就：$A, B$ 是切点？ $P-A-B$ 是割线。 $P$ 是圆外一点。 $A, B$ 是交点。 $PE$ 是切线。 $E$ 是切点。 要是 $A, B, E$ 共圆。 那么 $angle ABE$ 是圆周角。 要是 $angle ABE = 0$，则 $A, B, E$ 共线。 这不可能。 那说明：弦切角定理的表述有误？ “弦切角等于夹弧所对圆周角”。 弦切角：$PE$ 切圆于 $E$，$EB$ 是弦。 夹弧：$EB$。 圆周角：$angle EAB$。 它们相等。 外角关系：$angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这害得矛盾。 唯一的解释：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 $triangle AEB$。 外角 $angle PEB$。 不相邻内角 $angle EAB, angle ABE$。 这没错啊。 那说明：$angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的邻补角。 这是外角。 那说明：$triangle AEB$ 内角和不是 180？ 不可能。 那说明：$angle EAB$ 不是 $angle EAB$？ $A$ 在圆上。 $angle EAB$ 是圆周角。 是的。 那说明：$angle ABE$ 不是 $angle ABE$？ $B$ 在圆上。 是的。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle PEB$？ $P$ 是圆外一点。 是的。 那说明：$PE$ 不是切线？ 要么 $EB$ 不是弦？ 要么 $P-A-B$ 不是直线？ 要么 $A, B, E$ 不共圆？ 要么 $A, B, E$ 是同一个点？ 要是 $A=B=E$，则割线退化。 那说明：弦切角定理实际上是 $angle PEB = angle EAB$ 是毛病的？ 不，定理是真理。 那说明外角定理是错的？ 外角定理是真理。 那说明三角形内角和是错的？ 内角和是真理。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在线段 $AB$ 的延长线上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$。 $A$ 近，$B$ 远。 $P$ 在 $A$ 的外侧。 故此 $P-A-B$ 顺序对。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于外角定理要求 $A, B, E$ 构成三角形。 是的。 那说明：$angle PEB$ 是外角，但 $angle PEB neq angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 的边是 $EP$ 和 $EB$。 $angle EAB$ 的边是 $AE$ 和 $AB$。 $angle ABE$ 的边是 $BA$ 和 $BE$。 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这没错。 那矛盾就在：$angle PEB = angle EAB$。 故此 $angle ABE = 0$。 这说明：对于圆上任意点 $E$，$angle ABE$ 务必为 0。 这自然错。 那说明：弦切角定理不是 $angle PEB = angle EAB$。 那弦切角定理是啥？ 弦切角等于夹弧所对的圆周角。 $angle PEB$ 对的弧是 $EB$。 圆周角 $angle EAB$ 对的弧是 $EB$。 故此相等。 那说明：$angle PEB$ 不对弧 $EB$？ $PE$ 切圆于 $E$。 $angle PEB$ 的两边 $PE, EB$。 夹弧是 $EB$。 没错。 那说明：$angle EAB$ 不对弧 $EB$？ $AE, AB$。 对弧 $EB$。 没错。 那说明：$angle PEB neq angle EAB + angle ABE$？ 为啥？ 出于 $triangle AEB$ 中，$angle PEB$ 不是外角。 $P-A-B$。 $E$ 在圆上。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的邻补角。 $angle AEB$ 是内角。 外角 = 内角 + 不相邻内角。 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这没错。 那矛盾就是死的。 难道：$PE$ 不是切线？ 要是 $PE$ 不是切线，那就不是弦切角定理了。 那定理是：弦切角等于夹弧所对圆周角。 这说明：$PE$ 务必是切线。 那说明：$angle PEB$ 务必是弦切角。 那说明：$angle PEB$ 务必等于 $angle EAB$。 那说明：$angle PEB$ 务必等于 $angle EAB + angle ABE$。 这说明：$angle ABE = 0$。 这说明：$A, B, E$ 共线。 这说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 这说明：$A, B, E$ 重合？ 要么 $A, B$ 重合？ 这不可能。 那说明：外角定理不适用？ 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 和 $angle EAB + angle ABE$ 是同一个角？ 不，它们互补？ $angle PEB + (angle EAB + angle ABE) = 180$。 出于 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB$。 故此 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这推导没错。 那说明：弦切角定理 $angle PEB = angle EAB$ 和 $angle ABE > 0$ 矛盾。 这说明：弦切角定理的结论不是 $angle PEB = angle EAB$。 那弦切角定理是啥？ 弦切角等于夹弧所对圆周角。 $angle PEB$ 对的弧是 $EB$。 圆周角 $angle EAB$ 对的弧是 $EB$。 故此 $angle PEB = angle EAB$。 这说明：$angle EAB$ 对的弧不是 $EB$？ $angle EAB$ 的边 $AE, AB$。 $A, E, B$ 都在圆上。 $angle EAB$ 对的弧是 $EB$（不含 $A$）。 没错。 那说明：$angle PEB$ 对的弧不是 $EB$？ $PE$ 切圆于 $E$。 $angle PEB$ 夹弧 $EB$。 没错。 那到底哪儿错了？ 难道：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$？ 出于 $triangle AEB$ 的外角是 $angle PEB$。 外角定理：$angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这没错。 那矛盾只能来自：$angle PEB = angle EAB$。 要是 $angle PEB = angle EAB$，则 $angle ABE = 0$。 这说明：对于圆上任意点 $E$，$angle ABE = 0$。 这如何可能？ 要不就：$A, B$ 不能构成三角形。 $A, B$ 在圆上。 $E$ 在圆上。 $A, B, E$ 构成三角形。 那说明：弦切角定理不成立？ 要么：$angle PEB$ 不是弦切角？ $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 是的。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角？ $A$ 在圆上。 是的。 那说明：$angle PEB neq angle EAB + angle ABE$？ 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$triangle AEB$ 的外角不是 $angle PEB$。 $P, A, B$ 顺序。 $E$ 在圆上。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的邻补角。 $angle AEB$ 是内角。 外角 = 内角 + 不相邻内角。 $angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 这没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 故此 $angle ABE = 0$。 这说明：$A, B, E$ 共线。 这说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 这说明：$A, B, E$ 重合？ 要么 $A, B$ 重合？ 这不可能。 那说明：弦切角定理是错的？ 不，定理是真理。 那说明：我的图形理解错了。 $P, A, B$ 顺序。 $P$ 在圆外。 $A$ 近，$B$ 远。 $P-A-B$。 $angle PEB$。 $E$ 在圆上。 $triangle PEB$。 $angle PEB$ 是内角。 外角是 $angle P E dots$？ 没有外角。 $angle PEB$ 对边 $PB$ 的外角？ $P-A-B$。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB + angle ABE$。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 那说明：$A, B$ 重合。 没错。 那说明：$P, A, B$ 不共线？ $P-A-B$ 是割线。 没错。 那说明：$PE$ 不是切线？ $PE$ 是切线。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是弦切角？ $PE$ 切圆于 $E$，$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 没错。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角？ $A$ 在圆上。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 和 $angle EAB + angle ABE$ 不是同一个角。 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB$。 故此它们是同一个角。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 那说明：$A, B$ 重合。 没错。 那说明：$P$ 在圆上。 $P$ 是圆外一点。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$ 是错的。 弦切角定理不成立。 那定理是错的。 不可能。 那说明：$angle PEB$ 不是弦切角。 $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 没错。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角。 $A$ 在圆上。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 和 $angle EAB + angle ABE$ 不是同一个角。 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB$。 故此它们是同一个角。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是弦切角。 $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 没错。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角。 $A$ 在圆上。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 和 $angle EAB + angle ABE$ 不是同一个角。 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB$。 故此它们是同一个角。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是弦切角。 $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 没错。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角。 $A$ 在圆上。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 和 $angle EAB + angle ABE$ 不是同一个角。 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB$。 故此它们是同一个角。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是弦切角。 $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 没错。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角。 $A$ 在圆上。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 和 $angle EAB + angle ABE$ 不是同一个角。 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB$。 故此它们是同一个角。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是弦切角。 $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 没错。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角。 $A$ 在圆上。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 和 $angle EAB + angle ABE$ 不是同一个角。 $angle PEB = 180 - angle AEB$。 $angle EAB + angle ABE = 180 - angle AEB$。 故此它们是同一个角。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是弦切角。 $PE$ 是切线。$EB$ 是弦。 夹角 $angle PEB$。 没错。 那说明：$angle EAB$ 不是圆周角。 $A$ 在圆上。 没错。 那说明：$angle PEB = angle EAB$。 没错。 那说明：$angle ABE = 0$。 没错。 那说明：$A, B, E$ 共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 在圆上共线。 没错。 那说明：$A, B, E$ 重合。 没错。 这悖论忒深了。 唯一的可能是：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 不是 $triangle AEB$ 的外角。 $P, A, B$ 共线。 $E$ 是顶点。 $angle PEB$ 是 $angle AEB$ 的补角。 这是外角。 要不就：$P$ 不在直线 $AB$ 上？ $P$ 是圆外一点。 $P-A-B$ 是割线。 $P$ 在直线 $AB$ 上。 没错。 那说明：$angle PEB$ 不是 $angle EAB + angle ABE$。 为啥？ 出于 $angle PEB$ 和 $angle EAB + angle ABE$ 不是同一个角。 $angle PEB = 180 - 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