弦图与勾股定理-弦图勾股定理

拿张纸，铺开，把两个正方形并排摆在那里。左边那个大的，右边那个小的，中间得留个空隙。
这个空隙就是经典的弦图，也就是勾股定理那个老掉牙的老哥们儿。大量人一看到这图就头大，认定这图如何如此复杂，如何画如此费事，非得把直角三角形的勾和股拼成一个大一点的三角形套在里面，让那个小正方形浮在半空。
实际上不然，这玩意儿早在几百年前，刘徽在《九章算术注》里就把它解开了，哪怕你连微积分那个点都摸不着，光靠直觉也能把这图里的数一个个掰过来。 画图的时候，别急着找直角。
你看中间那个小正方形，四周全是三个小三角形，左边一个，上边一个，右边一个，这些三角形形状一模一样，大小也彻底一样。它们是直角三角形，红线算勾，蓝线算股，绿线算弦。
这时候你能够试着把这三个小三角形挪一挪，把它们靠在一起，正好能拼成一个大的直角三角形，那个大三角形的斜边就是原来最外面的大正方形的边。
这时候你会愣住了地发现，整个图形实际上是个标准的“赵爽弦图”，只不过这个赵爽把勾股定理直接套在了图形里面，让人一眼就能看出来。大正方形的面积等于小正方形面积加上三个直角三角形的面积之和。 这就好比你做一道菜，大正方形的面积就是整盘菜的总重量，小正方形是中间那块“空白”局部，而三个直角三角形就是那盘菜里的肉片。 假设勾是 3，股是 4，弦就是 5，这是最基础的例子，大家手算起来都挺顺手。
那大正方形的边长就是 5，面积就是 $5 times 5 = 25$。小正方形的边长就是 $4 - 3 = 1$，面积就是 $1 times 1 = 1$。三个直角三角形的直角边分别是 3 和 4，每个的面积是 $frac{1}{2} times 3 times 4 = 6$，三个加起来就是 $6 + 6 + 6 = 18$。一算 $1 + 18 = 19$，咦？
如何跟 25 对不上？哦不对，这里搞错了。弦图里，勾股定理的结论是大正方形面积等于小正方形加三个三角形，那 $25 = 1 + 18$ 啊？
什么的，哪儿不对了？哦，我明白了，大正方形边长是斜边 5，面积是 25。
那三个三角形面积是 $3 times frac{1}{2} times 3 times 4 = 18$。小正方形边长是 $3-1=2$？不对，勾股定理里勾是直角边，股是直角边。
要是勾股分别是 3 和 4，那斜边是 5。
那小正方形的边长应当是勾和股的差，也就是 $4-3=1$。
那三个三角形面积和是 $3 times 6 = 18$。小正方形面积是 $1^2=1$。总和是 19。
那大正方形面积是 25。
如何不对？啊，是概念混淆了。在弦图中，一般勾股定理指的是勾和股的长度关系，即 $a^2 + b^2 = c^2$。用 3 和 4 举例，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，而 $5^2 = 25$。
那弦图中的小正方形面积确实是 $(4-3)^2 = 1$，三个三角形面积是 $3 times frac{1}{2} times 3 times 4 = 18$，加起来是 19。
那大正方形面积是 25。
这就对了。$1 + 18 = 19 neq 25$。
这说明啥？说明我的弦图拼法要么理解有误。重新审视。大正方形边长是斜边 5，面积 25。组成它的三个三角形，每个面积 $frac{1}{2} times 3 times 4 = 6$，三个就是 18。小正方形边长是 $4-3=1$，面积 1。总和 $18+1=19$。
这如何还差 6 呢？哦，天哪，弦图里一般是用勾和股组成大正方形，要么大正方形减去四个直角三角形等于小正方形？不对。标准的弦图（赵爽弦图）：四个直角三角形围成一个大正方形，中间有个小正方形。大正方形的边长是直角三角形的斜边，对吗？不，不对。赵爽弦图的大正方形边长是直角三角形的斜边，面积是 $c^2$。中间小正方形边长是 $a-b$（要是 $a>b$），面积是 $(a-b)^2$。四个三角形面积和是 $4 times frac{1}{2}ab = 2ab$。
那么 $c^2 = (a-b)^2 + 2ab$？展开右边是 $a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2$。对！
这就通了。我的心算哪儿出了难题。$3^2 + 4^2 = 25$，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。$(3-1)^2 + 3 times 6 = 4 + 18 = 22$。还是不对。啊，中间小正方形边长是 $a-b$ 当 $a=4, b=3$ 时，边长是 1，面积 1。四个三角形面积 $4 times 6 = 24$。$1 + 24 = 25$。
对了！就是一个四个三角形，不是三个。弦图是四个直角三角形。
故此我刚刚数错了，当作是三个。确实是四个。
这样模型就彻底吻合了。 好，模型搭建完毕。目前咱们来算算数。大正方形的边长是 5，面积是 25。中间小正方形边长是 $4-3=1$，面积是 1。四个直角三角形，每个面积 6，总和 24。加起来 $1+24=25$。完美。 目前换个数据，看看是不是通用。试一下勾是 3.5，股是 4.2，斜边是多少？算一下 $sqrt{3.5^2 + 4.2^2} = sqrt{12.25 + 17.64} = sqrt{29.89} approx 5.467$。
不管怎么着，原理不变。大正方形面积是 $c^2$。小正方形面积是 $(a-b)^2$。四个三角形面积总和是 $4 times frac{1}{2}ab = 2ab$。等式就是 $c^2 = (a-b)^2 + 2ab$，展开后就是 $a^2 - 2ab + b^2 + 2ab = a^2 + b^2 = c^2$。
这数学结构忒漂亮了，忒和谐了。 再看个更震撼的例子，勾是 5，股是 12，弦是 13。
这是中国大数学家勾股数里最经典的一对。大正方形边长 13，面积 $13^2 = 169$。小正方形边长 $12-5=7$，面积 $7^2=49$。四个三角形，每个面积 $frac{1}{2} times 5 times 12 = 30$，四个就是 $30 times 4 = 120$。加起来 $49 + 120 = 169$。真是一模一样。 实际上弦图最早在《九章算术》里就提过，那时候叫“勾股虫食术”。意思就是大正方形被四个小虫（三角形）咬了一口，剩下的就是中间的小正方形。
要么反过来讲，大正方形减去四个三角形就是中间小正方形。
这两种说法实际上是一回事，只是观察角度不同。有的古人认定大正方形是主体，减去四个角就是中心；有的认定四个角是主体，合起来就是大正方形。
反正就是同一个几何事实，只是还没被我们彻底简化成那个漂亮的公式。 还有人会问，弦图里那个小正方形确实是个正方形吗？是的，出于四个三角形全等，故此它们拼起来的小正方形肯定是对角线互相垂直平分，边长相等。并且它的边平行于那个大正方形的边。 再说说应用，别看弦图是个几何图形，但原理能够算出大量东西。
比如求两个正方形面积的差。
要是大正方形面积是 25，小正方形是 1，差就是 24，也就是四个三角形的总面积。
要是你想知道中间小正方形的面积，直接算就是 1。 还有，弦图里的勾股定理和毕达哥拉斯定理实际上是一回事，只是表达方式不同。毕达哥拉斯可能更喜爱代数推导，让你设未知数，解方程。而弦图是纯几何的，不需求任何代数符号，彻底是画图就能懂。
这种直观性在小孩儿教育要么初学者入门时特别关键，不用记那些繁琐的公式，看一眼图，心里就有数了。 实际上这图之故此叫“弦图”，是出于里面的弦（斜边）最长，勾和股是直角边，弦是斜边。弦是圆上的局部，但在弦图里我们用的是直线。
不过弦本身也有长度定义，故此叫弦图。 想象一下，把这四个直角三角形搬到一个更大的空间里。把这四个三角形摆成正方形的四个角，每个角放一个，中间就空出来一个正方形。
这时候你会发现，两边的空间正好能够拼成一个正方形，那个新正方形的边长就是勾和股的差。但这可能有点复杂。
不如还是回到最直观的：大正方形边长是弦，面积是 $c^2$；四个三角形拼成两个矩形，长方形的长是勾，宽是股，每个矩形面积是 $ab$，两个就是 $2ab$；中间小正方形边长是勾和股的差，面积是 $(a-b)^2$。
这三个局部加起来正好填满大正方形。
这就是勾股定理最优雅的几何证明，赵爽用弦图做，比朝鲜李孝慈的拼图早了一千年。 故此啊，弦图不只是是勾股定理的一个示意图，它是一个千古流传的几何谜题。它让我们看到了几何之美，那种数字、形状、空间之间和谐共生的感觉。当你看到那个小正方形嵌在四个三角形中间时，你会明白，数学不需求复杂的推导，有时候一张图就充足让人顿悟。勾、股、弦，这三条线段，在弦图里找到了它们的终极归宿，不再是抽象的符号，而是实实在在的空间关系。 这大约就是古人智慧的地方吧，把最抽象的数值关系，用最朴素的图形表达出来，让所有人都能看懂，哪位都算得出来。别看有些细节在历史上还有争议，比如有的版本是四个三角形围成大正方形，大正方形里面挖去小正方形。但甭管如何，那个 $a^2 + b^2 = c^2$ 的核心真理，通过不同形状、不同构成的图形，一直牢牢地扎根在那里。 下次你再遇到这种带小正方形和四个三角形的组合图，别紧张，专门找那个小正方形看。它的面积一直等于大正方形面积减去四个三角形面积。
要么，当你需求计算面积的时候，直接数：大正方形减去四个三角形，要么算出四个三角形再减去小正方形，结局一直一样的。
这就是几何的魅力，简洁而有力。 最终再啰嗦一句，勾股定理就是这个道理，不用引经据典，不用深奥理论，一张图，四个角，三个数，就讲完了天衣无缝的事。