勾股定理的证明方法欧几里得证法-欧几里得证法勾股定理

空气里浮动着微尘，当阳光斜切进窗台，灰尘在光柱里跳舞，像极了数学课上那道著名的题目：求那个未知的角。我坐在桌前，手里捏着那张羊皮纸大小的卷尺，上面密密麻麻地刻着数字。欧几里得的人，大约也没像我们现代人这样，非要先画三个直角三角形的边，再匆匆忙忙地拼凑个面积公式接着往下演。他更愿意在沙地上，要么那些没有预设坐标系的几何图形里，把三角函数和余弦值给“找”出来。 话说那日，我正在整理书房，突然听到角落里传来一阵轻微的摩擦声。一个身影正站在墙角，手里拿着那把特制的直角尺，小心翼翼地磨着一条极细的铜丝，像是在打磨一件稀世珍宝。
那人叫毕达哥拉斯，咱们这位古希腊的数学家，也是咱们今天老师会提到的人。他本来是想研究火药、天文和那些让人头大的几何难题，结局一听说“勾股数”，嘿，比哪位都兴奋。他得把那个“勾股定理”给搞明白，就像要把那个圆规的秘诀给挖出来一样。 起初，得看那个最基础的“勾股数”。记得有一次，我拿着一个圆规去画一个圆，遇到了一个圆上不存有“勾股数”的角。毕达哥拉斯当时正趴在地上，眉头都皱成了个“川”字。他看着那个圆，又看了看那把尺子，突然悟了。他说：“你看，这圆上的角，就像是一个直角三角形的斜边。咱们得找三个数，让它们的平方加起来正好等于圆上那个角的平方。” 接着，他启动在地上画。他取了三根木棍，长度分别是 3、4 和 5。他先量了那根木棍，长度正好是三。再量那根，是四。最终那根，凑巧是五。
这三根木棍，放进了一个直角三角形里，底边是 3，高是 4，斜边是 5。
这时候，他挺高兴，出于他发现一个秘密：3 的平方加 4 的平方，竟然等于 5 的平方。1 加 16 等于 17，而 5 的平方是 25，仿佛不对？不对，他低头一看，哎呀，底边是 3，高是 4，斜边是 5。平方运算只是为了验证，他更在意的是找到了那个“勾股数”。 然后，他又找了更长的数。他测了一条 9 长的棍子，另一条是 12 长的棍子，再另一条是 15 长的棍子。把它们做成一个三角形，底是 9，高是 12，斜边是 15。他又把 9 的平方加 12 的平方，算出来是 181，而 15 的平方是 225。
哎，如何算不对？他愣住了。但他立马意识到，可能得把单位换算一下，要么找更精确的数。他持续找，直到找到了一组数：3、4、5 之后，他发现 5、12、13 也是对的，8、15、17 也是对的，就连 20、21、29 也对。 这时候，我已经能想象出毕达哥拉斯是如何把这玩意儿用到了圆周上的。圆上不存有勾股数的角，他就能用这三组数去逼近。
比方说，想画一个圆，他能够把圆的半径设为 5。
然后他就要画两条线，长度分别是 3 和 4，把它们折起来，让它们的交点正好落在圆周上。
这时候，他就能证明，圆周上的那个角，实际上就是一个直角。
要么反过来，他想证明一个角是直角，他就能找到三条边，长度是 3、4、5，把它们围进去，证明这个角就是 90 度。 有了这个基础，他就能够更进一步了。他想给所有的角都画上标注，看看哪些是直角，哪些是锐角，哪些是钝角。他会用勾股数去量那些不确定的角。
比方说，他拿一个角，量出它的两边分别是 3 和 4，要是第三边是 5，那这个角就是直角。
要是第三边是 6，那这个角就是锐角。
要是第三边是 8，那这个角就是钝角。他能在地上画出一张庞大的图表，把所有可能的角都分类好。 并且，他还发现了一个惊人的规律。他发现，3、4、5 之后，还有 5、12、13，还有 8、15、17。每增添一个数，规律就变得更加明显了。他就连发现，对于任意一个直角三角形，只要你把两直角边的平方加起来，就能拿到斜边的平方。
这是全世界所有人都知道的真理。 最终，他不再只是研究这个角。他启动研究这个角周围的一切。他想知道，要是三个角都是直角，能不能拼成一个封闭的图形？他尝试着在纸上画，发现能够拼成各种形状，比如长方形，要么正方形。他就连想，要是把这个图形画在一个圆里，是不是总能找到一种方式，让这三个直角角正好加上一个圆周角？他终于明白，这不只是是关于三角形的数学，更是关于整个宇宙的结构。 后来，当毕达哥拉斯带着这个发现离开，带着那些在沙地上画出的线条消亡时，我不知道他心里是如何想的。
或许他认定，只要找到这组数，就能解决所有的难题。
或许他认定，这就是他的使命。
毕竟，对于他那个时代的人来说，这就是全体，就是最关键的。他用自己的方式，把那个“勾股定理”给证明白，就像他给那根铜丝、那把尺子，也赋予了新的意义。别看我们目前用了大量更现代的方式去证明它，但他留下的那些线条，那些数据，那些在几何世界里跳动的身影，依然是那个时代最耀眼的星光。