外角平分线定理题目-外角平分线定理应用题解析

老李是个老江湖，咋说呢，就是咱们讲外角平分线定理，他最拿手的就是那套“不整那套”的土办法。 别老盯着课本上那些“
一、
二、三”和“定义”、“公式”看，那是给机器写的，不是给脑子用的。外角平分线这事儿，真没啥啥子逻辑，就是个几何题里藏着的脑筋急转弯。画个图，两条直线相交，一条线把那个外角平分，那它到底跟内角有啥瓜葛？ 这就得靠脑子，靠那个几何直觉。外角平分线这把尺子，量的是两边的关系，却跟第三边没啥直接联系。它的功能，实际上是把那个难啃的“外角”给化软，让咱们去看里面的“内角”。就像变魔术一样，把外角搬进来了，内角就露出来了，它们俩之间，总有那么点儿亲戚关系。
要是内角是 $a$，那外角平分线分出的两个小角就是 $(a+b)/2$ 和 $a$，它们加起来就不等于 $180$ 度了，那是啥子？那是直角！ 为啥如此说？出于三角形内角和是 $180$ 度。外角嘛，实际上就是补掉那个内角，剩下的局部。
要是一条线平分了这个外角，那它俩分得比俩，这比俩只能相等。
对吧？故此两个小角加起来，等于原内角，结局相加还是 $180$。
这玩意儿，叫“分角定理”，好办好记：外角平分线分成的两个角，一个是内角，另一个是内角的一半。
这就好比你切蛋糕，切了一刀，剩下的一半，又切了一刀，那两半加起来就是原来那一半蛋糕的面积。 老李常讲：做题别光背公式，公式是死的，人是活的。
这公式你要是死背了，出题人略微换个头，你立马就懵了。你得有自己的感觉。
比如遇到那个钝角三角形，外角平分线往哪画？往外画，往一边画，往另一边画，都能算，但思索过程不一样。 举个例子。假设有个三角形，$angle A = 50$ 度，$angle B = 60$ 度。
那 $angle C$ 就是 $70$ 度。目前看 $angle C$ 的外角。外角是多少？$180$ 减 $70$，等于 $110$ 度。
对吧？目前有一条线，把这个 $110$ 度角正好平分。
那它把 $110$ 度分成了两个 $55$ 度。
这时候，看 $angle A$ 的内角是 $50$ 度，平分线分出的那个角是 $55$ 度。
这两个角加起来，正好等于 $105$ 度。但这不对啊，内角和是 $180$ 度。
什么的，我是不是哪儿算错了？ 哦，错了。外角平分线定理的核心，实际上是看两个角的和。
要是是内角平分线，那 $angle A + angle B = 180$。
要是外角平分线，那 $angle A + frac{1}{2}angle B = 180$ 这种推导那是绕晕，得换个思路。 还是回到老李的比喻。
你看这个外角，它比内角大。
这大多少呢？大 $angle C$。目前有一条线，把这个大角平分。
这把大角分成了两局部，其中一局部是 $angle C$。
那另一局部呢？就是 $frac{1}{2}angle C$。
故此，$angle A + frac{1}{2}angle B$ 这个式子，代表的是个外角。而外角等于不相邻两内角之和。
这就顺理成章了。 你看，这个定理实际上就是一个“代换”的过程。外角等于两内角和。
既然外角等于两内角和，那这就意味着，要是有一条线平分了外角，它把外角分成了两局部，一大一小。
那一小局部是内角，另一局部就是内角的一半。
这就把那个外角跟内角连起来了。 老李时常说：“这定理没啥用，就是用来凑数的。”这话也不假。大量考试题，就是让你把外角平分线分出的角，跟某个内角加起来，等于 $180$ 度，然后列方程。
这就好比你玩俄罗斯方块，方块拼在一起，总长度是固定的，你算出某一段的长度，就知道另一段长度是多少。 再说说应用场景。别老想着算面积，面积跟这个定理没啥关系。
这玩意儿主要用在求角度，要么判断平行。比方说，两条直线 $AB$ 和 $CD$ 相交于 $O$，然后有一条线 $OE$ 平分了 $angle AOE$。
这时候，要是你知道 $angle AOE$ 的度数，那 $angle BOE$ 的度数也就知道了。出于 $angle AOE$ 和 $angle BOE$ 是邻补角，和是 $180$。
既然 $angle AOE$ 被平分成了两个相等的角，那 $angle BOE$ 就是 $180$ 减去那个半角。 这逻辑好办得挺。画个图，$A-O-B$ 是一条直线，$C-O-D$ 是另一条直线。$angle AOC$ 是外角。$OE$ 平分 $angle AOD$（这里 $D$ 是 $C$ 的对顶角方向上的点，要么好办点说，就是那个外角）。$OE$ 分出的角是 $x$ 和 $180-x$。其中一个是内角，一个是外角的一局部。 说到这儿，还是得提一句，这定理在解三角形里实际上没啥直接用处，要不就你是解题高手，知道如何凑数。
比如 $angle A + angle B = text{外角}$。
要是 $angle A$ 是 $40$，$angle B$ 是 $50$，那 $angle A + angle B = 90$。
这时候外角就是 $90$。目前拿一把尺子，去量外角，发现它正好被分成了 $40$ 和 $50$。
那这就意味着，$OE$ 平分的是 $90$ 度。目前你能够省事算出 $angle COE$ 是多少了。
这就是代换法的威力，不用死算，直接代换就能得数。 还有，老李最佩服的用法，就是把它当工具。
有时候你不需求知道这个定理的真值，只需求知道它能把一个复杂的角拆分成好办的角。
这就像拆快递，你不用知道如何拆，只要知道有个盒子能帮你把零件分出来就行。 自然，做题时注意别把方向和角度搞混。外角平分线，是把外角平分，不是把内角平分。内角平分线是“半”，外角平分线是“四分之三”。
这个区别挺关键。
要是弄反了，整个推导链条就断了。 总而言之，外角平分线定理，就是个几何题里的“废话”定理。真没用啊，但能帮你把图看清楚。画个图，标个度数，代换一下，动动手指头，难题不就解决了？别总在那儿背定义，定义是死的，手得写的活。
这才是考试的王道。