高阶偏导数的定理-高阶偏导数定理

高阶偏导数这东西，听起来挺抽象，实际上就是一场场不同维度的“极限游戏”。我们不去啃那些死板的定理，直接去人肉推导，看看它在脑子里长啥样。 想象一下，你手里有个函数 $f(x, y)$，目前你要问它关于 $x$ 的二阶偏导数 $frac{partial^2 f}{partial x^2}$。
这啥意思呢？就是拿 $f$ 对 $x$ 求一次导，拿到的结局再对 $x$ 再求一次导。你脑子里得有个数 $x$ 在变，对吧？比如你沿着 $x$ 轴走了一步，函数值变了；再走一步，把新的变化量再代入求导。
这过程得贼小心，出于要是 $x$ 变了，你求出来的 $y$ 的导数可能也跟着变了。
故此，定义域里的每一个点，本质上都是个“带参数”的函数。 这事儿有个核心限制，就是那个“参数”不能是常数。
要是 $x$ 是个常数，那二阶偏导就得变成一般/平平的一阶导了，这就没意思了。
故此，所谓的“高阶”，本质上就是一场关于变量数量的重复操作。你只能对变量操作，不能对其他已经成功的变量再操作。
比方说，你不能对 $x$ 的偏导再对 $x$ 的偏导，出于 $x$ 在第一次偏导操作里已经被给“用光”了。 举个例子，假设你有个好办的函数 $f(x, y) = xy$。先随意拿个 $x$ 值，比如 2。
这时候函数变成 $2y$。对这个 $y$ 求导，结局是 2。
这是 $frac{partial f}{partial x} = y$。目前，你拿出个 $y$ 值，比如 3。函数变成了 $3x$。再对这个 $x$ 求导，结局是 3。
这是 $frac{partial^2 f}{partial x^2}$。
哦，你看，这里实际上混用了 $x$ 和 $y$ 这两个变量。在这个例子里，$frac{partial^2 f}{partial x^2}$ 的结局实际上是个常数 3。 这就引出了个最扎心的难题：啥时候能直接求二阶导数？并且能求出多少个阶数？大量人会下意识地去算三阶导数，比如 $frac{partial^3 f}{partial x^3}$。
这时候你心里就得犯嘀咕了。你第一次对 $x$ 求导，结局里已经没有了 $x$，只剩下 $y$ 的函数了。
这时候你再对结局再对 $x$ 求导，那就等于说，你对一个不含 $x$ 的纯 $y$ 函数求 $x$ 的导数。而纯 $y$ 函数里根本没有 $x$，如何求导呢？结局就是 0。 这实际上就是泰勒公式的一个雏形。你把一个函数看作是在某个点附近的近似多项式，然后多次求导，看看剩下的误差项长啥样。
要是求到某个阶数了，剩下的项就全体归零了，高阶偏导自然也就消亡了。
故此，对于一个不含任何参数的函数 $f(x)$，它的一阶导是 $f'(x)$，二阶导是 $f''(x)$……直到第 $n$ 阶导，要是存有的，那第 $n+1$ 阶导数就会变成 0。
这就是“有限阶”这个概念的意义。 但这里有个庞大的坑。大量初学者一上来就想求 $frac{partial^3 f}{partial x^3}$，然后直接套公式 $frac{partial}{partial x} frac{partial^2 f}{partial x^2}$。你会挺泄气，结局出来是个 0。出于 $frac{partial^2 f}{partial x^2}$ 本身已经是个常数（要么不含 $x$ 的函数了），它再对 $x$ 求导，自然就是 0。
故此，大量时候你认定“有高阶导数”，实际上是出于你的函数本身结构忒复杂，要么你定义的函数里隐含了 $x$ 的存有，只是你没看出来。 再深入一点，高阶偏导数的定义域是个贼严格的集合。它务必是由函数定义域中所有变量的子集构成的。
比方说，要是函数定义域是 $D$，而变量有 $x, y, z$，你求二阶导数，只能选 $x$ 和 $y$ 的某两个子集组合。你不能随意随意取一个子集，比如选了 $x, y$ 和 $z$，那这就超出了定义域的准范围。出于一旦你选了 $z$，说明 $z$ 也是个变量，你不能再对 $z$ 进行“高阶”操作了，出于 $z$ 本身就是一个变量，它的“层高”已经被到底了。 这就把高阶偏导数和全导数、混合偏导给分清楚了。全导数是对变量求导，能够多次，出于它没有“参数”这个概念。而偏导数本质上是求偏导，每次求偏导都会消耗掉一个变量的“生命”。
故此，要是一个函数对某个变量求导后，那个变量彻底没了（变成了常数），那么它再对原变量求导，结局就是 0。
这就是高阶偏导存有的硬性条件。 举个具体的数据例子。设 $f(x, y) = e^{x^2}$。先求一阶导：$frac{partial f}{partial x} = 2x e^{x^2}$。目前对 $x$ 再求导。
这里 $x$ 是变量，没难题。结局是 $2 e^{x^2} + 2x cdot (2x e^{x^2}) = 2 e^{x^2} (1 + 2x^2)$。
看，这里面有一个二阶导数：$frac{partial^2 f}{partial x^2} = 4x e^{x^2} + 2 e^{x^2} (4x) = 8x e^{x^2}$。 再来个更复杂的。设 $f(x, y) = sin(xy)$。一阶偏导 $frac{partial f}{partial x} = y cos(xy)$。再对 $x$ 求偏导。
这里 $y$ 是变量，对 $x$ 操作。结局是 $y (-y sin(xy)) = -y^2 sin(xy)$。
看，这里的二阶偏导数出现了，也是 $y^2$ 相关的。 但要是你求三阶偏导 $frac{partial^3 f}{partial x^3}$ 呢？第一次对 $x$ 导了，$x$ 还在。
第二次对 $x$ 导了，$x$ 还在。
第三次对 $x$ 导了，$x$ 还在。
不对，什么的。让我们重新梳理一下。$f(x, y) = sin(xy)$。一阶：$frac{partial f}{partial x} = y cos(xy)$。二阶：$frac{partial^2 f}{partial x^2} = -y^2 sin(xy)$。三阶：$frac{partial^3 f}{partial x^3} = -y^3 cos(xy)$。
哦，你看，三阶导数依然存有。直到啥时候消亡？要是是 $sin(x^2)$ 呢？一阶 $2x sin(x^2)$，二阶 $2 sin(x^2) + 4x^2 cos(x^2)$，三阶 $4x cos(x^2) - 8x^3 sin(x^2)$。四阶呢？依然存有。 啥时候会彻底消亡？看 $f(x) = e^{x^2}$ 的某次导数。一阶 $2x e^{x^2}$，二阶 $2 e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2}$。
这就已经不再全是 $x$ 的函数了。再对 $x$ 求导，还是 $x$ 在。直到哪个阶数？实际上，对于 $f(x) = e^{x^2}$，所有偏导都依赖于 $x$。
那啥时候消亡？哦，我想错了。偏导数对的是某一个变量。对于 $f(x, y) = e^{x^2}$，$frac{partial f}{partial x} = 2x e^{x^2}$。
这里 $y$ 是常数。$frac{partial^2 f}{partial x^2}$ 对 $x$ 再求导，还是 $2 e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2}$。
这里面 $x$ 还在。 啊，我明白了。高阶偏导数的“消亡”，不是指整个函数没了，而是指剩下的局部不再包含你刚刚那个参与操作的变量。
比方说，要是你说“对 $x$ 求二阶偏导”，你只能看到包含 $x$ 和 $y$ 的项。
要是你坚持说“再对 $x$ 求一阶”，你看到的是包含 $x$ 的项。直到某个阶数，比如对某个变量求$n$次后，该变量彻底退场，变成常数，那么再求导，结局就是0。 但在 $f(x, y) = e^{x^2}$ 这种例子里，$x$ 一直在里面的。
这是出于 $x^2$ 的链式法则，导数一直活着。你要找一个变量，对它求导后彻底消亡。
比如 $f(x, y) = x + y$。对 $x$ 求一阶导得 1。对 $x$ 再求一阶导，1 是个常数，再对 $x$ 求导，结局就是 0。
故此，对于 $x + y$，二阶偏导 $frac{partial^2 f}{partial x^2} = 0$。
这就是高阶偏导数存有的条件之一：函数中不能全是线性（或常数）项。 这就解释了为啥高阶偏导数在多重积分里如此关键。在计算二重积分 $int int f(x, y) dA$ 时，要是 $f(x, y)$ 是二次函数比如 $x^2$，那它的二阶偏导就是常数，积分就挺好办。
要是它是三次函数比如 $x^3$，一阶导是 $3x^2$，二阶导是 $6x$，三阶导是 $6$，四阶导是 $0$。
什么的，三阶偏导数 $frac{partial^3 f}{partial x^3} = 6$。
那四阶导呢？还是 0。出于 $6$ 是个常数。 故此，高阶偏导数实际上是个挺严格的“工具”。它不能用来处理整个函数的整体变化，只能用来处理某个变量在某一点上的“局部加速度”。
比方说，$f(x, y) = x^2$。在 $(x_0, y_0)$ 点处，关于 $x$ 的二阶偏导是 $2$。
这告诉你在该点，函数对 $x$ 的变化率是 $2$，并且这个变化率本身是恒定的。
要是取多点 $(x_0 + Delta x, y_0)$，二阶偏导依然是 $2$。
这说明在这个局部区域，曲线是抛物线的，曲率是不变的。 但这有个前提，就是该点在函数的定义域内，且函数在这一点附近充足光滑（无限可导）。
要是在某点函数不光滑，比如尖角，二阶偏导可能无定义。
比如 $f(x) = |x|$，在 $x=0$ 处，一阶导左 $-1$，右 $1$，一阶导跳跃，二阶导自然不存有，就连一阶导在 $x=0$ 处都没有定义。 最终总结一下。高阶偏导数不是那种无所不能的魔术棒。它需求知足几个硬性条件：
1.变量不能是常数。
2.函数务必光滑。
3.操作次数不能忒多，直到某个变量彻底消亡，结局才恒等于 0。它主要用于处理积分的分割、微分方程的解，还有判断函数的局部行为。别指望它能模拟整个函数的剧烈波动，它的使命挺单一，就是告诉你，在这个特定的点上，变量对自己有多喜爱。意思就是，它在局部看，变量在对自己“粘合”要么“排斥”的程度。