幻想数学大战14:毕达哥拉斯的定理-毕达哥拉斯定理幻想大战

幻想数学大战 14：毕达哥拉斯的定理 史前那个被洪水冲毁的文明遗址里，人们站在断崖边，手里攥着粗糙的石头，眼盯着那块庞大的黑色玄武岩，那是雅典卫城城邦的基石，也是后来被我们称为“毕达哥拉斯定理”的数学奇迹的源头。
那时候的人并不懂“无穷”要么“无理数”这些概念，他们看到的只是石头，要么说是某种天启般的显现。传说有一位名叫毕达哥拉斯的哲学家，他在阿尔戈斯朝圣，路过这块黑石头时，猛然认定它像是上帝的眼在注视着他，要么某种古老誓约的契约。他就把这块石头搬回了阿尔戈斯，然后在洞穴里挖了个坑，把石头放在上面，发现上面一点东西都没有，只剩下那个坑。 这一夜风吹过，他仿佛听到了回声，那是某种古老的低语。
第二天清晨醒来，他并没有急着倒下，而是启动讲述那些在洞穴深处听到的声音。他告诉人们，要是他在黑石头的棱角上刻下数字，这些数字就会像活物一样跳动，发出神秘的声响。他刻下了
二、
五、十，然后呢？他刻下了
六、九。
那些数字在石头上颤动，仿佛在说，这就是世界的秩序，就是神的法则。 起初，人们只是认定有趣，认定这石头仿佛确实在讲话。但到了后来，事件启动变得异常。
有人启动用这些数字去丈量土地，有人用它们去描述线段的长度。风景如何样？刻度准吗？大家都说准。
直到有一天，出于一次争吵，两组人拿着卷尺，一边去量一段路，一边去算一段长的线段。
突然，警报声大作，不是出于警报本身，而是出于计算结局出现了诡异的毛病。他们发现，当他们在纸上画下那个六边形的边，再计算它的对角线时，结局一辈子比预期的多了一点点。
那个人说：“这不可能，数学没骗过人！”另一个人反驳道：“可是，当数字变成非整数的时候，它们就不再是整数了，这就是我们暴力的、粗糙的度量法犯下的根本性毛病。” 便，那个狂热的预言者毕达哥拉斯，离开了那个充满神迹的洞穴，带着他的那些数字，跑到了科林斯。他在那里建起了他的学园，把那些在洞里听到的声音变成了文字，写成了一本书，叫做《泰勒斯学派的对话录》。书里记载了所有的数字，从最小的整数一直写到最大的平方数，就连包含了那些无法用两个整数相乘拿到的、无限不循环的小数。他把这些数字整理得井井有条，仿佛它们就是宇宙的骨架。 可是，随着更多的弟子加入，这个教室里的气氛启动变得阴冷。有些人启动质疑自己，认定毕达哥拉斯到底是不是确实听到了声音，要么是不是被啥东西管住了。害得悲剧的，实际上是人们无法理解“无限”这个概念带来的冲击。当数字被无限放大，他们的计算方式也就务必随之转变。
那会儿我们只关心整数，目前我们务必关心那些介于两个整数之间的、一辈子停在某个位置的小数。而这些小数，在现有的智慧里是没有定义的。 恩基亚斯，那个博学但有些古怪的学者，坐在他那堆满书籍的椅子上，看着那些密密麻麻的数字，眉头紧锁。他把毕达哥拉斯的著作读了一遍又一遍，试图从中找到逻辑的漏洞，却发现所有的证明都指向同一个结论，那就是：只要存有直角三角形，且两条直角边的长度分别是整数，那么斜边的长度就一定是整数。
这个结论忒完美了，忒顺理成章了，以至于让人形成了一种错觉，仿佛这就是数学的真理。 他启动尝试证明这个结论，试图用逻辑来证明勾股定理。他搬来梯子，爬上梯子，拿着卷尺，在墙上量出了一块直角三角形，直角边长分别是 3 和 4。按照毕达哥拉斯的定律，斜边务必是 5。他用尺子量了一下，确认定 5。他又量了一组，5 和 12，斜边是 13。
接着他又量了 6 和 8，斜边是 10。一切正常，直到他启动测量那些无法整除的边长。 比如，他量了一根木梁，长度大约是 1.414... 米。他不能把它切成整数段，也不能按照整数倍去堆砌。他启动质疑，是不是毕达哥拉斯错了？
是不是那些在洞里听到的声音实际上是某种魔法，只是针对那些喜爱搞玄学的人的？还是说，毕达哥拉斯死前写的书，原文实际上是数学上不可证明的公理？ 他想起了那个著名的“阿基米德悖论”——要是有一个物体，它比所有可分割的线段的总和还要长，那它如何可能放在尺子底下？别看这不是直接关于勾股定理的悖论，但那种对无限的理解，让他的推理过程变得支离破碎。他启动不断地修改自己的证明，试图找到那个能涵盖所有情况、包含无理数的普遍法则。他画出了无数个三角形，试图证明它们的边长关系恒定不变。但他发现，甭管如何画，那些斜边的长度在接近某个极限时，一直偏离了整数。 他终于得出结论：毕达哥拉斯的定理不是关于实数的，而是关于整数的。当数字变成无理数时，这个定理就失效了。便，他回绝了任何质疑，就连回绝承认这个定理本身有错。他认定，真正的数学真理就在那里，在梦里，在那些无法被量化的、形而上的领域里。
那些在洞穴里听到的声音，就是真理的体现。
那些在洞穴里听到的声音，就是毕达哥拉斯定理的终极形态。 便，那个被洪水冲散的文明的人们，带着毕达哥拉斯的理论，回到了雅典。他们把那个传说变成了法律，把这个定理变成了国教。他们启动建造城市，启动规划道路，启动计算面积和体积。他们认定，只要遵循这个数字的律令，世界就会运转得井井有条。他们信任，只要把数字刻在石头边，世界就会恢复整个。 可是，随着工夫的推移，城市的扩张让难题变得更加复杂。商业贸易需求精确的计量，航海需求计算距离，建筑需求规划比例。人们发现，有些数字无法被整除，有些测量结局在误差累积后，总会形成细小的偏差。当这些偏差积累起来，误差就变成了不可控的变量。
那些无法被量化的数字，变得贼悬。人们启动形成恐惧，出于要是数学真理只是是整数的游戏，那么那些看似合理但实际上是浮动的、非整数的实体，就无处不在。 在某个暴风雨的夜晚，一群建筑师争论着一个屋顶的坡度难题。他们根据毕达哥拉斯的定理，计算出某个斜坡的斜边长度应当是 5，而测量出的实际长度却是 4.999... 米要么 5.000... 米。
这种细小的数字差异，在庞大的结构中会引发庞大的应力变化。为了保险起见，他们启动重新计算，试图找出一个“完美”的整数解。
可是，甭管如何调整，只要有一个边长不是整数，整个结构的承载本事就会大打折扣。
那个最根本的定理，似乎被它们自己给破坏了。 便，那个传说最终在历史的尘埃中被遗忘了。人们在叙述这个故事时，一般会说毕达哥拉斯发现了真理，但他最终却搞错了。真正的毛病，不在于他发现了啥，而在于他没能意识到，那些在他眼中理所自然的整数，实际上只是世界无数种可能中的一种。当世界启动变得无限复杂，当数字不再局限于整数，当那些无法被好办定义的、无限不循环的小数启动占据宇宙的中心，毕达哥拉斯的定理就丧失了它赖以生存的土壤。它从一个关于整数的真理，变成了一个关于整数的幻觉。 在那个被洪水冲毁的洞穴里，毕达哥拉斯闭上了眼，出于他再也听不到回声了。
要么说，他终于明白，世界上并不存有啥单一的、绝对的真理。真理是流动、是变化、是无数种可能性的总和，而不是某个静止的、永恒的数字。
那些在洞里听到的声音，只是他内心深处，对于数学本质最朴素、也是最深刻的误解。他当作他在寻找上帝，实际上他只是在寻找一种让自己感到保险的、冒牌的秩序。 当后人读到那个传说时，往往会感到一阵寒意。
那个被无限放大、显得荒谬的完美数字，实际上只是人类理性在有限视角下，对无限世界最迟钝的模拟。毕达哥拉斯的定理，就像那个在洞穴里跳动的小黑点，它曾经照亮过雅典的夜空，照亮过无数人的头脑，也让后来者误当作这就是数学的终点。但事实上，它只是一个起点，是一个启动，是无数种可能性的萌芽。真正的数学，一直比那个传说里那个静止的黑点，更加丰富多彩，更加深邃而神秘。