最小角定理视频-最小角定理视频简介

那个“最小角”到底指哪位？ 在讲整个平定理之前，咱们先看看那个著名的“最小角定理”。别当作这就是个画个三角形就能解决的题目，这玩意儿看着好办，实际上陷阱深得挺，并且它跟“整平”有啥关系？目前大量人一看到“最小角”，脑子里就蹦出一个“最小角定理”，认定这是干嘛的，赶紧去背。
实际上啊，这玩意儿在推理过程里挺有用的，但它本身是个定理，并且跟整平没啥直接关系。 咱们先看看整平定理里那个“最小角”具体指啥。整平定理讲的是把集合里的点到直线，求最大角的最小值，那另一个角的最小值呢？实际上也是这个逻辑，就是让你把每个点到直线的距离拉大一点。
这时候，你只需求把那个“最小角”的顶点往旁边挪一挪，让那个角变大一点，再看能不能把距离拉得更远。 这个“最小角”到底是指哪个角？这个难题在整平里出现过，但在“最小角定理”这个特定语境下，它一般指那个特定的构造出的角。
比方说，我们有两个集合，A 和 B，我们要找它们之间最小的角。
这时候，我们可能会构造出一个三角形，然后看里面的角是如何变化的。 举个例子，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角。我们能够在 A 里随意挑两个点，连一条线；然后在 B 里挑两个点，连一条线。
这时候，这两条线之间会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么这两个集合之间就有一个挺大的角，这个角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界点，也就是那个“最小角”的顶点。 在整平定理的推导过程中，这个“最小角”的顶点实际上有一个挺特殊的性质。
我们知道，整平定理里有个结论，就是那个“最小角”的顶点，一定是那个“最小值”所在的那个点。
也就是说，只要我们把这个点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就回到了那个“最小角定理”本身。
这个定理的核心思想实际上和整平定理挺相似，都是为了处理集合之间的角度难题。只不过，整平定理是求“最大值的最小值”，而最小角定理可能是求“最小角的最大值”？
要么说，在某种特定的构造下，它们会收敛到一个点。 咱们再深入一点，看看这个定理如何用在具体的几何证明里。
比方说，我们要证明某个多边形内接于圆，要么证明某个四点共圆。
这时候，我们可能会构造一个辅助图形，然后利用这个“最小角”来缩小范围。我们试着把那个角往左边挪，往右边挪，最终发现，甭管往哪挪，那个角都变不动了，要么变到一个特定的值。
这时候，我们就找到了那个“最小角”的界限。 在这个过程中，你会发现，这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个更具体的例子。假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在某个平面内。我们能够在 A 里找两个点，连成线段；在 B 里找两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个夹角。我们要找的是所有可能形成的夹角里，哪一个角最小？答案看起来挺明确，就是两条线段交叉后形成的那个锐角要么直角。 不过，这个最小角的具体数值是多少？这取决于 A 和 B 的分布。
要是 A 和 B 离得贼远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间移动，直到它们的中心重合，这时候它们之间的最小角会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)，其中 R 是某个半径。 可是，这里的“最小角”指的是啥？是指 A 和 B 之间所有可能张角中最小的那个吗？还是指 A 和 B 之间的某个特定角？ 要是是前者，那么当我们把 A 和 B 拉开得更远时，这个最小角就会变大。
可是，要是我们把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 举个例子，假设 A 和 B 是两个集合，它们都在一个平面上。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么这两个集合之间就有一个挺大的角，这个角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界点，也就是那个“最小角”的顶点。 在整平定理的推导过程中，这个“最小角”的顶点实际上有一个挺特殊的性质。
我们知道，整平定理里有个结论，就是那个“最小角”的顶点，一定是那个“最小值”所在的那个点。
也就是说，只要我们把这个点往旁边挪，把那个角变大一点，再看能不能把距离拉得更远，要么再看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”到底指哪位？这个难题在整平里出现过，但在“最小角定理”这个特定语境下，它一般指那个特定的构造出的角。
比方说，我们有两个集合，A 和 B，我们要找它们之间最小的角。
这时候，我们可能会构造出一个三角形，然后看里面的角是如何变化的。 这个最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 可是，这里的“最小角”指的是啥？是指 A 和 B 之间所有可能张角中最小的那个吗？还是指 A 和 B 之间的某个特定角？ 要是是前者，那么当我们把 A 和 B 拉开得更远时，这个最小角就会变大。
可是，要是我们把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 当我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上时，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 举个例子，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线 P_A P_B。
这时候，这个线段和它们之间的其他连线会形成一个角。 我们要找的是所有可能选出的 P_A 和 P_B 组合里，那个最小角是多少。
显然，这个最小角是当 P_A 和 P_B 紧密相邻时拿到的。
可是，要是 A 和 B 都是点集，那么 P_A 和 P_B 是随机的吗？要是不是，而是有某种约束的话，那难题就复杂了。 不过，一般在实际应用中，我们假设 A 和 B 是“均匀”分布的，要么我们只关心它们的相对位置。
这时候，我们只需求找 A 和 B 之间的一个“相对”最小的角。 这个“相对”最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。而这个张角的大小，取决于 A 和 B 的中心距离。
要是 A 和 B 的中心距离是 d，那么它们之间的最小角大约是 2 arctan(d/2R)。 故此，回到最启动的难题：最小角定理里的“最小角”到底指哪位？ 在整平定理的语境下，它指的是 A 和 B 之间的张角，这个张角的大小取决于 A 和 B 的中心距离。
要是我们把 A 和 B 拉开得更远，这个张角会变大；要是我们把 A 和 B 拉近，这个张角会变小。
可是，要是我们把 A 和 B 的每个点都投影到一条连线上，这时候 A 和 B 之间的距离就压缩了。在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这个“最小角”实际上是一个动态量。它不是固定的，而是依赖于我们当前的构造。
可是，要是我们坚持要找一个全局的最小值，那么我们就务必找到那个使这个角最小的点。而这个点，往往和“整平”中的那个关键点相关联。 举个例子，假设我们要计算两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在点聚拢。我们能够在 A 里挑两个点，连成线段；在 B 里挑两个点，连成线段。
这时候，这两条线段会形成一个角。
这个角的大小取决于我们如何选点。
要是选的点忒偏，这个角就挺小；要是选的点忒偏，这个角也可能挺大。
故此，我们要找的是所有可能选出来的角里，那个最小值是多少。 这个最小值具体是多少？这取决于 A 和 B 的具体位置。
比方说，要是 A 和 B 离得挺远，那么它们之间的最小角肯定大于 90 度。
可是，要是我们把 A 和 B 往中间拉，靠近一点，这个最小角可能会变小。
这时候，我们就会遇到一个临界条件。 这个时候，我们就进入了“最小角定理”的核心区域。
这个定理告诉我们，要是我们能把 A 和 B 拉近，直到它们之间的最小角达到某个值，这个值就是它们之间的“最小角”。而这个值，往往和 A、B 的中心距离相关。 具体来说，要是 A 和 B 是点集，那么它们之间的最小角，实际上就是 A 和 B 之间的张角。
这个张角的大小，取决于点与点之间的距离。
要是我们把 A 和 B 的中点连起来，然后把 A 和 B 的每个点都投影到这条连线上，这时候，A 和 B 之间的距离就压缩了。 在这个过程中，我们会发现，这个“最小角”的顶点，实际上就是那个投影点。
也就是说，只要我们把那个顶点往旁边挪，把那个角变大一点，看看能不能把距离拉得更远，要么看看能不能找到另一个更小的角。 这就把难题简化了。目前我们要做的，就是把这个“最小角”的顶点给找出来。
如何找？一般我们会尝试把它的顶点往两边挪，看看能不能找到使角变小的极限位置。 比如，假设我们要找两个集合 A 和 B 之间的最小角，且 A 和 B 都在一个平面上。我们能够在 A 里挑一个点 P_A，在 B 里挑一个点 P_B。
然后我们连一条线