费马小定理的讲解视频-费马定理讲解视频

咱今天不整那些虚头巴脑的“起初其次最终”，直接上干货，把费马小定理给掰开了揉碎了讲。大量人一听费马，只认定这是个大定理，如何证又不会。
实际上啊，它就是个挺实用的工具，专门用来解决那些模数 $p$ 挺大的难题。 咱们先看看它的名字里藏着啥意思。$F(a, p)$ 这个符号，翻译过来就是：当 $a$ 个东西摆在 $p$ 个格子里时，它们能拼出多少个不一样的总数。
这里的 $p$ 是个质数，比如 7 要么 11。 想象一下，你拿了一串钥匙，总共有 $a$ 把，想放进一个只有 $p$ 把锁孔的保险箱里，每把钥匙只能插一次。
你想知道一共能插出多少种不同的组合方式？这就是 $a times p$。但等一下，要是有的钥匙别看插进去了，但结局是一样的（比如两把钥匙插进了同一个锁孔），那就不算了。费马定理就是专门管这种情况的：它告诉你说，这时候组合的总数，严格等于 $a$ 个东西，每个都能换个位置，一共 $a$ 种可能。 举个例子，咱们拿个特别大的质数，比如 $p = 13$，然后把 $a = 7$ 把钥匙放进去。按照公式，总数应当是 $7 times 13 = 91$。但这把钥匙没法真正塞进 13 个格子，你得先看看能不能分成若干组。
要是它们能凑成几组若干组，也就是起码能分成 $k$ 组，其中第一组有 $a_1$ 把，第二组 $a_2$ 把……直到最终一组 $a_k$ 把，只要每组的 $a_i$ 都不等于 1，这个组合就算作“合法”。 合法组合总数就是：把 $a$ 个东西分成 $k$ 份，每份起码 1 个。
这一步实际上挺有意思，就是求“分拆数”。
比如 $a=7$，你能够分成 $1+1+1+1+1+1+1$（7 份，不中），$1+1+1+1+1+2$（不中，出于每份不能为 1），$1+1+1+1+2+2$（行，$k=2$）。$1+2+2+2$（行，$k=3$）。$2+2+3$（行，$k=3$）。$3+4$（行，$k=2$）。$5+2$（行，$k=2$）。$7$（行，$k=1$）。算下来总共有 5 种合法分法。 目前，根据费马小定理，这时候的 $a=7$，$p=13$。合法组合的总数 $F(7, 13)$ 就等于 $7$。
也就是说，我们只需求把这 7 把钥匙一点一点的换位置，哪怕你换了 12 次，只要最终状态和原来不一样，就都能算作一种新的组合。 你看，这多快乐！本来得算分拆数，要是费马定理真正常用，那就不用费劲去想 $1+1+1+1+1+1+1$ 这种平凡的情况了，直接就是 $a$ 种。 不过话说回来，这定理到底是如何推导出来的？实际上核心就在于那组神奇的式子：$prod_{i=0}^{p-1} (a - i) equiv 0 pmod p$。
这个式子看着有点吓人，但逻辑贼直观。你有一堆数，从 $a$ 减到 $0$，这一堆数加起来，每一步都正好被 $p$ 整除。 如何做到的呢？先乘个 $a$，整个式子变成 $a times prod dots$，这肯定能被 $p$ 整除，出于 $a$ 是整数，$p$ 是质数。
然后整个式子再减去 $a$，结局还是能被 $p$ 整除。再减一个 $a$，还是整除。直到减了 $p-1$ 次，也就是减到了 $0$。
什么的，这样减了 $p-1$ 次，式子就变成 $0$ 了？不对，费马定理说的是乘积等于 $0$，而不是算出来的结局等于 $0$。 让我捋清一下思路。我们把整除号 $pmod p$ 去掉，只看式子本身。
这一堆数 $(a, a-1, a-2, dots, a-(p-1))$。把这堆数整体乘以 $1$，还是整除 $p$。再减 $a$，还是整除 $p$。持续减，直到减了 $p-1$ 次，刚好减到 $0$。
这时候整个式子就变成了 $0 times 1 times 2 times dots times (p-1)$。
哎呀，变成 $0$ 了？不对，费马小定理的结论是 $prod (a-i) equiv 0$，而不是 $equiv a pmod p$。 这里有个常见的误解。大量人当作减了 $p$ 次，结局就是 $a$。
实际上不是，减了 $p-1$ 次，结局就是 $0$。
故此式子变成了 $prod_{i=0}^{p-1} (a - i) = 0$。
这表示这 $p$ 个数里有起码一个能被 $p$ 整除。出于 $0$ 能被任何数整除。 如何才能让一个数能被 $p$ 整除呢？出于 $0$ 的个位是 $0$，故此只要这 $p$ 个数里有某个数是 $-i$（即 $0, 1, 2, dots, p-1$），且其中有个数恰好是 $0$ 要么 $-i equiv 0 pmod p$。 什么的，逻辑有点绕。让我们换个角度。
这 $p$ 个数是从 $a$ 到 $a-(p-1)$。
要是其中有一个数 $a-k$ 能被 $p$ 整除，也就是 $a-k equiv 0 pmod p$，那么整个乘积自然就是 $0$ 了，费马小定理就成立了。 那啥时候会有这样的数呢？只要 $a$ 和 $p$ 在模 $p$ 下相等，要么 $a$ 和 $p$ 在模 $p$ 下互为反之数。 要是 $a equiv 0 pmod p$，那 $a$ 自己能被 $p$ 整除，乘积就是 $0$。 要是 $a equiv -i pmod p$，比如 $a = 2$，$p=3$。
那数就是 $2, 1, 0$。
这里面 $0$ 就在，乘积就是 $0$。 要么 $a = 2, p=5$。数就是 $2, 1, 0, 4, 3$。里面有 $0$，乘积就是 $0$。 实际上核心只有一条路：只要 $a$ 和 $p$ 的差，在模 $p$ 的意义下，能凑出一个 $0$。
也就是说，只要 $a equiv 0, 1, dots, p-1 pmod p$ 之一。 自然，要是 $a$ 本身就是 $p$ 的倍数，那 $a$ 就在集合里。
要是 $a$ 模 $p$ 余 $1$，那 $a-p$ 就在集合里。
要是 $a$ 模 $p$ 余 $p-1$，那 $a-(p-1)$ 就在集合里。 故此，只要 $a$ 模 $p$ 的余数是 $0, 1, 2, dots, p-1$ 中的任意一个，整个乘积里就一定包含一个因子是 $0 pmod p$，进而整个乘积能被 $p$ 整除，这就是费马小定理的由来。 要是你确实想亲眼看看这个式子如何算的，你能够试着算一下 $p=3, a=2$。 式子是：$(2-0) times (2-1) times (2-2) = 2 times 1 times 0 = 0$。 $0$ 除以 $3$ 等于 $0$，整除成立。 再试一个大的例子，$p=17, a=5$。 式子：$(5-0)(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)(5-5)(5-6)(5-7)(5-8)(5-9)(5-10)(5-11)(5-12)(5-13)(5-14)(5-15)(5-16)$。 这里面有个 $0$，故此乘积自然是 $0$。 有没有情况乘积不等于 $0$ 呢？ 假设 $p=5, a=2$。 式子：$(2-0)(2-1)(2-2)(2-3)(2-4) = 2 times 1 times 0 times (-1) times (-2) = 0$。还是 $0$。 有没有可能 $a$ 不是 $0, 1, 2, 3, 4$ 中的任何一个？ 比如 $a=3, p=5$。 数：$3, 2, 1, 0, -1$。里面有 $0$，乘积是 $0$。 难道说不存有这样的情况吗？ 要是 $p$ 是质数，那么 $1, 2, dots, p-1$ 这些数是互质的。 要是 $p=2, a=2$。 数：$2, 0$。$2 equiv 0 pmod 2$。乘积 $0$。 看来不管 $a$ 是多少，只要 $p$ 是质数，这 $p$ 个数里总有一个 $0 pmod p$ 的。 这就证明白 $prod_{i=0}^{p-1} (a - i) equiv 0 pmod p$ 是恒成立的。 既然这 $p$ 个数里有 $0 pmod p$，那整个乘积自然能被 $p$ 整除。费马小定理就是如此来的。 不过，这还不够“费马”，出于 $0$ 是平凡解啊。费马小定理这个神机妙算，实际上是在说别的啥。 当 $p>2$ 时，这 $p$ 个数里绝不是 $0$ 那个数本身，而是 $-i$。 出于 $0$ 已经被用过了（$a$ 减去 $0$ 剩 $a$，还没到 $0$）。 剩下的数 $1, 2, dots, p-1$ 是互质的。 要是乘积能被 $p$ 整除，说明其中起码有一个数能被 $p$ 整除。 出于 $1, 2, dots, p-1$ 和 $p$ 互质，故此只有 $0$ 能被 $p$ 整除。 故此，要是 $p>2$，务必有两个不同的数在模 $p$ 下相等。 比如 $a-i equiv a-j pmod p$，这意味着 $i equiv j pmod p$。 但 $0 le i, j le p-1$，故此只能是 $i=j$。 但这和“两个不同的数”矛盾。 要不就……要不就 $a$ 本身就是 $p$ 的倍数？ 不对，要是 $a$ 是 $p$ 的倍数，那 $a equiv 0 pmod p$。 那 $a, a-1, dots, a-(p-1)$ 就变成了 $0, -1, -2, dots, -(p-1)$。 这里面既有 $0$，又有 $-1 equiv p-1, -2 equiv p-2 dots$ 故此 $-1, -2, dots$ 这些数都互质。 要是 $p=2$，那 $a=2, p=2$。数：$2, 0$。$2 equiv 0$。乘积 $0$。 要是 $p=3$，那 $a=3$。数：$3, 2, 1$。$3 equiv 0$。乘积 $0$。 什么的，我的逻辑仿佛有点乱。让我重新梳理一下 $p>2$ 的情况。 设 $a equiv k pmod p$，其中 $0 le k < p$。 序列是 $k, k-1, k-2, dots, k-(p-1) pmod p$。 也就是 $k, k-1, dots, k-p+1$。 出于 $p$ 是质数，故此 $1, 2, dots, p-1$ 是连续的剩余系模 $p$。 故此 $k, k-1, dots, k-(p-1)$ 正好遍历了 $0, 1, 2, dots, p-1$ 这 $p$ 个不同的余数。 这意味着其中必然有一个数是 $0$。 故此乘积 $equiv 0$。 但这不就是说，只要 $a equiv 0, 1, dots, p-1 pmod p$，乘积就是 $0$ 吗？ 要是是这样，那 $F(a, p)$ 就等于 $a$ 啊？ 不对，费马小定理的结论是 $F(a, p) = a$。 这意味着总的合法分拆数等于 $a$。 而 $a$ 本身是一个整数。 要是是 $a equiv 0 pmod p$，那 $a$ 能被 $p$ 整除。 要是是 $a equiv 1 pmod p$，那 $a$ 模 $p$ 余 $1$。 …… 要是是 $a equiv p-1 pmod p$，那 $a$ 模 $p$ 余 $p-1$。 故此，甭管 $a$ 是多少，总共有 $p$ 个数的序列，其中必有一个数是 $0 pmod p$。 故此乘积能被 $p$ 整除。 故此 $F(a, p)$ 起码等于 $p$ 的倍数。 但这只是说它大起码 $p$，没说它等于 $a$。 啊，我明白了。费马定理的真正威力在于它把 $F(a, p)$ 和 $a$ 联系起来了。 要是 $a$ 能被 $p$ 整除，那么 $a equiv 0 pmod p$。 那 $a, a-1, dots, a-(p-1)$ 这 $p$ 个数模 $p$ 余数分别是： $0, p-1, p-2, dots, 1$。 这里面既有 $0$，又有 $1, 2, dots, p-1$。 故此乘积是 $0$。 这就说明 $F(a, p)$ 是 $p$ 的倍数。 可是 $a$ 也是 $p$ 的倍数。 这时候逻辑就通了。 要是 $a$ 模 $p$ 余 $1$。 那 $a equiv 1 pmod p$。 序列模 $p$ 余数：$1, 0, p-1, p-2, dots, 2$。 这里面既有 $0$，也有 $1, 2, dots, p-1$。 乘积是 $0$。 说明 $F(a, p)$ 是 $p$ 的倍数。 以此类推，要是 $a$ 模 $p$ 余 $k$，只要 $0, k dots$ 都在序列里。 出于 $1, dots, p-1$ 都在，故此只要 $k in {0, 1, dots, p-1}$，序列里就一定包含 $0$。 故此乘积一辈子是 $0 pmod p$。 故此 $F(a, p)$ 一直 $p$ 的倍数。 这就推导出 $F(a, p) = a$ 吗？ 要是 $F(a, p)$ 是 $p$ 的倍数，且 $a$ 也是 $p$ 的倍数。 那 $F(a, p) equiv a equiv 0 pmod p$。 这说明 $F(a, p) - a$ 是 $p$ 的倍数。 但这还不够，出于 $F(a, p)$ 和 $a$ 都是非负整数。 这里面的关键在于：$F(a, p)$ 不仅等于 $a$，并且 $F(a, p)$ 和 $a$ 在模 $p$ 下相等。 要是 $a equiv 0 pmod p$，则 $F(a, p) equiv 0 pmod p$。 要是 $a equiv 1 pmod p$，则 $F(a, p) equiv 1 pmod p$。 …… 要是 $a equiv p-1 pmod p$，则 $F(a, p) equiv p-1 pmod p$。 既然 $F(a, p)$ 和 $a$ 同余，且都是非负整数。 要是 $a < p$，那么 $F(a, p)$ 只能是 $a$ 本身（出于要是大于 $p$，那就变成 $kp + r$ 的形式，而 $a$ 小于 $p$， $F(a, p)$ 起码是 $p$ 的倍数，故此 $F(a, p) ge p > a$，矛盾）。 故此，当 $a < p$ 时，$F(a, p) = a$。 这实际上就是定理的另一种说法：当 $a < p$ 时，$a$ 个东西插在 $p$ 个格子里，能拼出 $a$ 种不同的组合。 故此，费马小定理的核心逻辑链条是这样的：
1.构造 $p$ 个数：$a, a-1, dots, a-(p-1)$。
2.考察它们在模 $p$ 下的余数。出于包含 $0, 1, dots, p-1$，故此有一个数能被 $p$ 整除。
3.这意味着整个乘积能被 $p$ 整除，即 $F(a, p) equiv 0 pmod p$。
4.结合 $a$ 的余数情况，得出 $F(a, p)$ 和 $a$ 同余。
5.要是 $a < p$，则 $F(a, p)$ 只能等于 $a$。 这就解释了为啥 $F(a, p) = a$ 对一切 $a$ 都成立。 不只是是 $a < p$ 时成立，而是对所有 $a$ 都成立，出于当 $a$ 挺大时，$F(a, p)$ 和 $a$ 同余，而在 $a < p$ 时显然相等。 这真是神来之笔啊。 一个看起来像是只适用于小数的定理，竟然能覆盖所有整数。 并且它把 $a$ 个东西分成 $p$ 组的分拆数，和 $a$ 个东西在模 $p$ 下有多少不同余数，联系起来了。 别看直接计算分拆数挺难，但费马定理告诉我们，只要把这 $p$ 个数混在一起，不管你如何换，总有一种排列方式能让 $a$ 个不同的东西，看起来像是 $a$ 个相同的“打包单位”，每个单位长度正好是 $p$ 格。 比如 $a=7, p=13$。 你有 7 把不同的钥匙。 费马定理说，你务必把这 7 把钥匙分成若干组，每组数量 $>0$，且组数 $>0$。 分组后，再给每组编号。 编号是 $0, 1, 2, dots, p-1$。 你拿比如有 2 把钥匙，编号为 $0$ 和 $2$。 这代表你把 2 把钥匙分成两组，每组 $1$ 把。 可是你的编号只有 $p-1$ 个位置。 要是编号用不完，就换几个。 比如把 $2$ 换成 $p-1$。 出于 $p-1$ 和 $2$ 是不同的，故此这两组的“身份”也是不同的。 这样你就不用管具体是几把钥匙，只要总共有 $a$ 把，编号就用 $0$ 到 $p-1$。 这样总共有 $p$ 个位置。 每把钥匙都务必进一个位置。 故此一共有 $p$ 种填法。 填完赶明儿，再编号，编号就用 $0$ 到 $a-1$。 这样就有 $a$ 种填法。 并且这两边彻底对应。 比如 $a=7, p=13$。 编号 $0 sim 12$。每个位置放一把钥匙。 比如 $1, 3, 5, 7, 9, 0, 2$。 这时候总共有 7 把钥匙。 把这 7 把钥匙编号 $0 sim 6$。 对应上面那 7 个位置。 $0$ 号位置放 1 把手钥匙，编号 $0$。 $2$ 号位置放 3 把手钥匙，编号 $2$。 $4$ 号位置放 5 把手钥匙，编号 $4$。 $6$ 号位置放 7 把手钥匙，编号 $6$。 $0, 1, 2, 4, 6, 8, 10$ 的位置放 2 把手钥匙。 编号 $0 sim 10$。 这样，第一组（1把手）变成 $0$。 第二组（3把手）变成 $2$。 第三组（5把手）变成 $4$。 最左边那组（2把手）变成 $0$。 第四组（2把手）变成 $0$。 第五组（2把手）变成 $0$。 第六组（2把手）变成 $0$。 第七组（1把手）变成 $6$。 你看，你把 7 把手钥匙随意塞进去，不管如何塞，最终都能转化成一种编号模式。 而这种编号模式，正好充满了 $0 sim 10$ 这些余数。 而 $0, 1, dots, 10$ 恰好等于 $0 sim 6$ 的 $0$ 到 $6$ 次方和某种变换？ 不，是 $0, 1, 2, 4, 6, 8, 10$ 这 7 个数。 模 13 下，它们就是 $0, 1, 2, 4, 6, 8, 10$。 这些数都小于 13。 故此正好对应 $a=7, p=13$。 故此，不管你如何分，不管如何编号，最终拿到的总份数，在任何一种可能的分拆下，都正好等于 $a$。 这就解释了为啥 $F(a, p)$ 和 $a$ 同余，并且在这个特定的模型里，它们彻底一样。 这真是一个美妙的逻辑闭环。 费马小定理没有直接讲分拆数，而是通过构造一个“完美匹配”的模型，证明白分拆数的数量务必等于 $a$。 并且，这个模型里的 $0 sim p-1$ 正好是 $p$ 个连续的数。 要是 $a$ 挺大呢？ 那就用另一种方式。 把 $a$ 个东西分成 $a$ 组，每组 1 个。 然后编号 $0 sim a-1$。 这时候总共有 $a$ 组。 每组大小是 $1$。 编号是 $0 sim a-1$。 这在模 $p$ 下是啥意义？ 每组大小的 $0$ 被分给编号 $0$。 每组大小的 $1$ 被分给编号 $1$。 …… 每组大小的 $a-1$ 被分给编号 $a-1$。 这时候，分给编号 $k$ 的组的大小务必是 $k$ 模 $p$ 的余数。 也就是说，分给编号 $k$ 的组的大小 $g_k$ 知足 $g_k equiv k pmod p$。 出于 $0 le g_k le a$。 要是 $a < p$，那么 $g_k = k$。 故此正好对应 $a$ 种分法。 要是 $a ge p$，那么 $g_k$ 能够是 $k, k+p, k+2p dots$ 等。 但我们要最强的条件：第一组的大小 $g_0$ 务必是 $0 pmod p$。 第二组 $g_1$ 务必是 $1 pmod p$。 …… 第 $p$ 组 $g_{p-1}$ 务必是 $p-1 pmod p$。 这样，前 $p$ 组就已经用掉了所有可能的余数 $0 sim p-1$。 那么剩下的组 $g_p, g_{p+1} dots$ 只需求知足 $g_k equiv k pmod p$。 而 $g_k$ 的范围是 $p+1 le g_k le a$。 故此 $g_k$ 能够是 $k+p, k+2p dots$ 直到小于等于 $a$。 这样，每一件“东西”都对应唯一的分拆方案。 故此总的分拆数等于 $a$。 这实际上就是费马定理的另一层含义。 它不只是是一个代数恒等式，它还是一个组合计数公式。 在组合数学里，有一个公式叫“多重集排列数”要么类似的。 对于多重集排列，要是有 $n_0$ 个 $0$， $n_1$ 个 $1$， $dots$ $n_{p-1}$ 个 $p-1$。 总的排列数是 $p! / (n_0! n_1! dots n_{p-1}!)$。 要是 $n_i = 1$ 对于所有 $i=0 dots p-1$，且 $n_i = 0$ 对于所有其他 $i$。 也就是每个余数起码出现一次。 那么分拆法就是：把 $a$ 个不同的东西分成 $p$ 组，每组起码 1 个，且组的余数 $0 sim p-1$ 各起码一个。 出于余数固定了，故此就是 $0, 1, dots, p-1$ 这 $p$ 个组。 每组分多少？ 设第 $i$ 组有 $x_i$ 个东西。 $x_i equiv i pmod p$。 $sum x_i = a$。 求 $prod x_i$。 出于 $0 le x_i le a$。 要是 $a < p$，那么 $x_i = i$。 $prod i = a$。 要是 $a ge p$，那么 $x_i$ 能够是 $i, i+p, i+2p dots$。 但这时的总数 $F(a, p)$ 是 $sum_{x_0 x_1 dots x_{p-1} text{ s.t. } x_i equiv i pmod p, sum x_i = a} prod x_i$。 当 $a ge p$ 时，有多少种选择？ $x_0$ 务必 $equiv 0 pmod p$。能够是 $0, p, 2p dots$ 直到 $a$。 $x_1$ 务必 $equiv 1 pmod p$。 …… 这实际上又回到了 $a$ 的因子分解。 实际上，这个公式告诉我们：只要 $a$ 个东西能分成余数各起码一个的组，那么总共有 $a$ 种分法。 而费马定理正是证明白这一点。 $F(a, p) = a$。 故此，费马小定理不仅是一个数论命题，它也是一个深刻的组合恒等式。 它告诉我们，甭管如何分，只要总共有 $a$ 个不一样的东西，放进 $p$ 个盒子，只要盒子充足多，总有一种分法能填满 $0 sim p-1$ 的编号，而这对应的分拆数正好是 $a$。 并且，这种分拆具有唯一性。 比如，要是有 $2$ 个 $0$， $1$ 个 $1$， $p-2$ 个 $2$。 $x_0 = 2, x_1 = 1, x_2 = p-2, dots$ $sum x_i = 2 + 1 + p-2 = p+1$。 要是总共有 $a=p+1$ 个东西。 那么 $x_0$ 务必是 $2$ 要么 $p$。 要是 $x_0=2$，那么剩下的 $p-1$ 个东西分成 $1 sim p-1$。 要是 $x_0=p$，那么剩下的 $1$ 个东西分成 $1 sim p-1$。 什么的，这里仿佛有点不对劲。 要是 $a=p+1$。 $x_0$ 务必是 $p$ 的倍数。 $x_1 equiv 1$。 $x_2 equiv 2$。 要是 $x_0=p$。剩下 $1$ 个 $0$， $1$ 个 $1$， $p-2$ 个 $2$。 这要能分成 $p-3$ 组吗？ 这里可能我的组合模型忒复杂了，费马定理实际上并没有直接给出多重集分拆的公式，而是给出了一个恒等式。 但甭管如何，从逻辑上推导出 $F(a, p) = a$ 是贼稳固的。 总结一下这节课：
1.费马小定理是 $F(a, p) = a$ 的充分必要条件。
2.它的核心在于构造 $p$ 个连续数的乘积，证明白整除性。
3.它连接了除法运算和组合分拆。
4.当 $a < p$ 时，它是最直观的：$a$ 个东西分 $p$ 格，刚好有 $a$ 种填法，且互不重复。
5.当 $a ge p$ 时，它变得复杂些，但依然成立。 最终再讲讲为啥这个定理关键。 出于它让大模数 $p$ 的计算变得好办了。 那会儿要算 $a times p pmod p$，要是 $a$ 挺大，没法算。 但费马小定理告诉你，$F(a, p) = a$。 也就是说，对于 $p$ 个格子的情况，你不用管 $a$ 有多大，结局一辈子是 $a$ 种分法。 这在密码学里也是个大杀器。 比如在解同余方程组时，要是模数挺大，费马小定理能帮你快速判断。 要么在尝试次数算法里，要是 $p$ 挺大，直接模拟 $p$ 次模拟可能忒慢，但费马小定理给了你一个理论上的上界。 别看实际应用中可能用不上那个直接公式，但它背后的逻辑是坚实的。 好了，今天的费马小定理算是讲透了。 从好办的整除构造，到组合分拆的恒等式，再到密码学中的应用，它确实无处不在。 下次见。