香农采样定理表述-香农定理表述

大家好，今天咱们不整那些虚头巴脑的学术黑话，直接聊聊香农采样定理。
这东西听起来挺玄乎，实际上就是说“抓得紧点，就抓得清”。
你想想，带宽有限的录音机，嘴能说出啥？它只能吐出频率小于它一半的高频声音。
故此，要想把原始信号里的所有信息——包含那些细细碎碎的高频细节——都保留下来，采样频率务必起码是原始信号最高频率的两倍。
这就叫奈奎斯特采样率定理。 大量新手一看这公式，就犯嘀咕：“为啥要两倍？两倍够不够？”实际上这背后有个数字游戏，咱们叫奈奎斯特频率。它定义了“刚好够”的极限线。
要是信号里最高频率是 300 赫兹，那 600 赫兹的采样率别看超过了两倍（600 大于 600 的一半），理论上够不够？理论上够，出于 600 赫兹的采样间隔是 1.67 毫秒，小于 0.001 秒。但要是是 301 赫兹的信号，302 赫兹的采样率就不中了，出于 302 小于 301 的两倍（602），这就意味着采样间隔达到了 0.003 秒，离奈奎斯特频率 0.001 秒的极限越来越远。一旦超过这个线，信号里的高频成分就漏掉了，就像你试图用一根忒粗的网来捞细小的鱼，鱼全游走了，只剩你手上的网兜空着。 那如何算这个频率呢？一般/平平信号人类耳朵能听的范围大约在 20 到 20,000 赫兹之间。
故此人耳能听到的最高频率，也就是 20 千赫。按照定理，录音机 Sampling rate 起码得是 40,000 赫兹，也就是每秒钟抓 40,000 个数据点。
那一次采样间隔是多少呢？就是 40,000 除以 40,000，等于 0.001 秒。
只要一次采样间隔小于 0.001 秒，你就能在原始信号里整个无损地还原出声音。
这就好比你画一幅画，像素点要是不够密，上面的细节就糊成一团了。 有没有人认定，数字信号不益处理啊，得先模拟成脉冲再转数字？实际上不然，数字信号处理本身就是模拟信号展宽后的样子。数字信号在理论上能够无限细，能够无限小，出于它是在 0 和 1 之间跳动的点。它不像模拟信号那样受限于物理电容电阻，能够无限抽。
故此你不用为采样频率发愁，你只需求坏掉那个用来取样的模拟电路，要么把采样点设置的密一点，就能把模拟信号里的噪声压下去，把信号里的细节揪出来。 再换个角度想，想象你在抓拍一只正在跑步的兔子。
要是快门速度忒慢，兔子跑得飞快，你只能拍到的就是它跳过一个格子的样子，根本看不出它动作有多协调，它留下的动作信息就丢失了。
这就是采样不够密的难题。
要是快门速度够快，每拍一次都捕捉到的兔子瞬间的整个姿态，哪怕只有 40,000 次/秒，你也能把它的动作过程整个记录下来。
这就叫“工夫域上的密”。
反过来，要是你只抓了 20,000 次（噪声为 1），而原始信号频率是 40,000 赫兹，那你在 20,000 赫兹 到 40,000 赫兹 之间的高频细节就全没了，这就像把一张照片压缩成黑白，原本细腻的纹理全都变成了噪点。 大量人会问，既然理论如此美，那实际应用中是不是总有误差？实际上误差分两类。一类是量化误差，这是把连续信号切成小块再标数字，每个小块只能存有限位，故此会有误差。
比如存 12 位小数，哪怕采样率够密，误差也还是存有的。另一类是混叠误差，这跟采样率不够相关，前面提到的漏掉高频。混叠就像把不同刹车片的声音混在一起，听不出哪声是哪声。但在现代工程里，只要把量化误差管住得好，要么用波形去拟合一下原始数据，混叠剩下的难题就小多了。 还有，采样定理有个隐含的假设，就是信号要充足稳定。
要是信号里夹杂着特别复杂的噪声，要么是有特定频率的干扰，单纯靠提升采样率可能不够，还得结合特殊的滤波器。就像你明明有 4800 万像素的相机，但拍出来的照片全是雪花，那你可能得先修图，要么换更强的镜头。 最终再说一下，这个定理在数字通信里功能忒大了。
你看手机里的通话质量，GPS 的精度，就连是你刷视频时的画面清楚度，背后都是靠这个原理。
只要你想不想把数据传得更快、更准、更稳，根本就是在这个数字世界里折腾采样率的难题。
故此，下次要是你认定信号破了，别急着换硬件，先想想是不是采样点忒疏，要么是不是该加粗你的采样网了。