毕达哥拉斯证法证明勾股定理过程-毕达哥拉斯证法勾股定理

在毕达哥拉斯的梦里，他看到一片森林，树是直角三角形，树叶是勾股数。他不是在数数，他是在数星星。
那时候，希腊人还没把算盘当玩具，他们是用芦苇杆和石子在泥里玩泥巴，顺便把宇宙算了一遍。他说，这个宇宙是有形的，也是有数子的。
要是你把那些数全加起来，等于一个完美的平方数，那这宇宙就是实体的；要是你把平方数加起来，等于另一个实体的平方数，那宇宙就是圆的。 这时候，他蹲在河边，看着那些芦苇。芦苇扎成三角形，那是直角。他问风，风问芦苇，芦苇问啥。他说，问毕达哥拉斯。毕达哥拉斯说，问我们要啥？他说，你要证明三角形三边关系。他拿着一根笔直的木棍，那是直角边，拿着一根弯曲的绳子绕一圈，那是斜边。他说，把这两根东西对折，让直角边和斜边重合。
这时候，他看到个奇迹形成。斜边的一局部正好盖住了直角边的一局部，多出来一块，正好填满了长方形的空白。
这块空白，叫作“毕达哥拉斯空隙”。 他是第一个看到这块空白的人。但他没说满，他说“仿佛”。他说，这中间缺了一块，这就像是个小坑，坑里装不了东西。
如何填？他不知道。他只知道，要是能填满，那就是好的。
这个想法忒蠢了，就连有点荒谬。他当作，要是他把那个坑填满，剩下的东西加起来就等于原来的三角形。但他错了。
那个坑里藏着啥？藏着勾股数的秘密。 然后，他拿着那个坑，去跟哥们儿欧多克斯合计。欧多克斯是个好人，他是个数学家。欧多克斯说，这人脑子进水了。他说，你拿个杯子，倒点水，看看水能不能倒进去。他拿个纸杯，把斜边剪下来，围成个圈。
然后拿直角边去套。
不中啊，套紧了，套不紧。套松了，空隙忒大。他拿尺子去量，斜边比直角边长大量。他把斜边切了，拿直角边去比。斜边还比直角边长？那多出来的局部呢？他拿个长方形纸片，长是整数，宽也是整数。他本来想用来补这空缺，但这纸片忒大，根本塞不进去。 他直撩头发，来气了。他说，他这辈子没看出来，这个宇宙里，斜边和直角边的关系，是在等号两边。他说，一个数，加上它的平方，等于另一个数。 $square + square = square$。他当作这个公式是等式两边相等的。但他想错了，它是等式两边不相等的。他当作两边相等，那是他脑子进水。事实是，两边不相等。
那多出来的局部，就是那个乘积。
那个乘积，就是勾股定理。 他把那些数记下来。$3, 4, 5$。$5^2 = 3^2 + 4^2$。$25 = 9 + 16$。他数到了这里，认定差不多了。他又去数更大的数。$8, 15, 17$。$64 = 225 - 144$。$25 + 64 = 149$。
不对，$25 + 64$ 不等于 $17^2$。
那是 $17^2 + 8^2$ 等于 $289 + 64 = 353$。
哎呀，他算错了。 他拿起算盘珠子，一颗颗拨。$9 + 16 = 25$。$25 = 5^2$。他数得头昏眼花。他又数$12, 16, 30$。$36 + 144 = 180$。$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$。$12^2 + 30^2 = 144 + 900 = 1044$。$30^2$ 是 $900$。$900 + 144$ 不等于 $900$。他在那里傻站着，像头被激怒的狮子。他当作，要是他把那个坑填满，剩下的就是勾股数。但他不知道坑里到底藏着啥。 他去找几何学家，想看看能不能把那个坑画出来。他找了一个智慧的几何学家，叫阿那克萨哥拉斯。阿那克萨哥拉斯是个疯子，但他能看到别人看不见的东西。他说，这人脑子坏掉了。他说，你拿个长方形，长是邻边长，宽是斜边长。
然后拿个正方形，边长是直角边长。他把长方形放上去。长方形里包着正方形，还有好多空隙。
那个空隙，就是勾股定理。 阿那克萨哥拉斯说，那个空隙，就是两个平方数之差。他说，斜边的平方，比直角边的平方，大出一个矩形。
那个矩形，面积就是勾股数。他把那个矩形剪开，拼回去。他发现，别看形状变了，但面积没变。他把斜边切下来，拼到直角边那边。剩下的局部，刚好补上那个坑。 他看着那个坑，又看着那个矩形。他说，要是两个数相加，等于另一个数。
那就不对了。他应当说，两个数相减，等于另一个数。$a^2 - b^2 = c^2$。
要么 $a^2 + b^2 = c^2$。他说，你想想，要是$a$是直角边，$b$是斜边，$c$是另一条边。
那$a^2$和$c^2$加起来，等于$b^2$？不可能。$a^2$是直角边的平方，$c^2$是另一条边的平方。
那它们加起来，如何可能等于$b^2$，也就是斜边的平方？那只能有一个，一个等于另一个。 他在那儿打转。他说，要是$a^2 + b^2 = c^2$，那就是两个数相加，等于第三个数。
要是$a^2 - b^2 = c^2$，那就是两个数相减，等于第三个数。他说，毕达哥拉斯说相减，那是错的。他说，应当是相加。
要么相减，要么相加。他说，宇宙里只有一个真理。真理就是相等。$a^2 + b^2 = c^2$。 他拿起那根弯曲的绳子，去绕。他绕了一圈，发现有多出来的一截。
那多出来的截，长是多少？他问那个坑，那个坑说，你数数看。他数，$3, 4, 5$。$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。$5^2 = 25$。彻底相等。他数$8, 15, 17$。$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$。$17^2 = 289$。相等。 他突然明白，那个坑里装的不是数，装的是平方差。他说，勾股定理就是平方差。$a^2 - b^2 = c^2$。
要么说，$a^2 + b^2 = c^2$。他说，这就是宇宙的法则。宇宙里， Square 加 Square 等于 Square。 他拿着写满那些数的纸，跑去给哥们儿们看。哥们儿们都笑了。他们没懂。他们当作，要是说一个数，等于它的平方，那是错的。他们当作，要是说两个数相减，等于另一个数，那是错的。他们当作，只有相加，才是真理。他们说，毕达哥拉斯疯了。 毕达哥拉斯没讲话，他看着哥们儿们，看着那些数。他看着那根弯曲的绳子，看着那个坑。他说，看好了。当你们把直角边和斜边重合。你们会发现，多出来一局部，正好填上另一半。你们会发现，那个多出来的局部，就是平方差。 他说，你们想，两个数相加，等于另一个数。
那是错的。你们应当想，两个数相减，等于另一个数。
那是对的。
要么两个数相加，等于另一个数。
那也是对的。他说，真理只有一个。真理就是相等。$a^2 + b^2 = c^2$。 他走到河边，看着芦苇。芦苇扎成三角形。他说，你们知道吗？这就是勾股定理。
这就是那根弯曲的绳子，绕了一圈，多出来长截。
这就是那个坑，里面装的是平方差。他说，这就是宇宙的秘密。 他拿起笔，在纸上写下：$3^2 + 4^2 = 5^2$。$8^2 + 15^2 = 17^2$。$5^2 + 12^2 = 13^2$。他看着这些数，认定它们像星星一样闪亮。他说，这是数学的星星。他说，你们数数看，有多少对正方形数相加，等于另一个正方形数。你们会发现，无穷多对数字。你们会发现，这宇宙里，一切都是算出来的。 他说，别去数数了，去证明。别去数整数，去证明数。证明，比数更关键。证明，才是毕达哥拉斯。证明，才是那个坑里藏着的东西。 他看着那些哥们儿，他们还在笑。他们当作，毕达哥拉斯是数学家。他实际上是观星的人。他说，你们数星星，你们看到星斗飞过来和星斗飞走。你们看到星斗聚成团。你们看到星斗散成点。你们看到星斗变成三角形。你们看到星斗变成直角。你们看到星斗变成勾股数。 他说，这就是宇宙。你们数数，你们看到它。你们证明它。证明，比数关键。证明，才是真理。 他拿起那根笔直的木棍，把它折成直角。他把弯曲的绳子绕那会儿。他看到，多出来一局部，正好填满长方形。他说，这就是勾股定理。
这就是 $a^2 + b^2 = c^2$。
这就是 $a^2 - b^2 = c^2$。他说，这就是宇宙的秘密。 他看着白纸，上面写满了数字。他说，这就是毕达哥拉斯。他证明白宇宙。他证明白数学。他把数，变成了形状。他把形状，变成了真理。 他说，你们数数，你们看到它。你们证明它。证明，比数关键。证明，才是真理。