圆的割线定理-圆内割线定理

站在圆的高地上看世界，那根贯穿内部的弦就像个庞大的血管，把圆周切成了两半，一半是左半边，一半是右半边。
要是在其中一条弦的另一端种了树，从树底下往这棵大树的树根看，会发现视线被一棵树干挡住了。
这时候，你看到的景象，跟直接从树根底下看这棵大树的样子，实际上是一模一样的。
这就是割线定理最 intuitive 的现场感：当你把视线拉远，靠近那根被挡住的大树时，你的视角实际上没变。 这就好比你在玩一个做手风琴的玩具，手里握着三条细细的弦，分别连着三个点。
第一条弦直接连着 C 点，第二条弦连着 A 和 B 两点，第三条弦呢，也是连在 C 和另一个点 D 上。
要是你把 D 点往 C 点拖，让 D 越来越接近 C，你会发现那第三条弦和第二条弦，别看长度在变，但它们在几何位置上，实际上才是人家非要拉着的那两条。 这时候，我们来看个具体的算账故事。假设这圆是个大球场，C 点是球门处的那个点。
第一条弦直接对着球门，长度是 30 米。
第二条弦，比如是另外两个人的位置连线，长度是 40 米，并且这两人之间的视线被树框死了。
第三条弦，就是那条被挡住的。 目前有个狡猾的树，它的位置刚好让第四条弦和那条被挡住的第三条弦重合了。
这时候，操作一下，把第四条弦抽走，原来的第三条弦就留在那里。
这时候，C 点到那个被挡住的点的距离，实际上就等于 C 点到第一条弦的终点距离了。
这就好比你本来要用 40 块钱买张票，结局出于树的缘由，你发现只要花 30 块钱就能买到同样一张票。数学就在这个瞬间变得有点儿“诚实”了：那条被挡住的弦，长度竟然和那条没被挡住的弦一样长。 再深入一层，想象一下你站在那个被挡住的点，往圆外看。
你看到的景象，实际上和你站在那条没被挡住的弦的另一端，往圆上看，看到的景象，彻底没区别。
这就是所谓的“等弦等位”要么“等角等弦”。
不管你在圆内、圆外，还是圆上，只要你关切那两条弦的连线，它们所夹的角，要么它们与圆心、切线的关系，实际上都挤不过那条看不见的第三条线。 这就引出了圆里最让人头疼也最迷人的那个矛盾。圆是个完美得让人想把它捏扁的球体，但一旦你给它加一点“圆”的概念，比如切一个圆，要么画个椭圆，它就变成了一种“伪圆”。你认定它和真正的圆有一分钱的区别？它没有。你当作你手里的圆，实际上就是一个被压缩过的圆，中间凹进去一块。
这时候，你手里的两条弦，似乎应当长度不一样，要么跟第三弦不一样。 可别急，圆就是这样，它最完美的地方就藏在最完美的地方。圆不需求“假”来掩饰啥，它自己就是合理的。
故此，当你发现那被挡住的弦和那条没被挡住的弦长度相等时，实际上你是在圆里发现了一种“合法”的欺骗。
这种欺骗不是恶意的，它是圆为了保持自身一致性而自动生成的逻辑。 想象一下，你手里拿着一把尺子，去量圆里的弦。
第一根尺子量直接连的，得 30 米；第二根尺子量被挡住的，也得 30 米。
这是圆在跟你的尺子打招呼。
要是你非要拿第三根尺子测，结局也是 30 米。
这时候，圆就让你傻眼了，出于它明明准你拿三根尺子都量出相同的长度，却让你认定这三根尺子量出来的结局应当不一样。 这种反直觉的感觉，正是圆的魅力所在。它告诉你，有时候最合理的东西，看起来就像是最荒谬的。当你在圆里追逐那被挡住的弦时，你实际上是在追逐一种“既存有又不存有”的平衡。
那条被挡住的弦，既没有出于被挡住就丧失长度，也没有出于没被挡住就保持长度。它在被挡住的状态下，依然保持着 30 米的长度；在未被挡住的状态下，依然保持着 30 米的长度。
这种双重性，让圆在数学世界里显得既坚固又软乎。 故此，下次当你手里拿着三条弦，看着它们消亡在圆的中心，不要急着去数数它们哪位长哪位短。试着去问自己：要是这条被挡住的弦消亡了，那两个端点还会不会在那个位置上？要是它们的位置变了，那三条弦之间的关系又会变成啥样？你会发现，甭管你从哪个角度看，那个被挡住的弦，实际上一直都在。它从未消亡，它只是换了一种方式，去围绕着你的视线旋转。 这就好比你在看一场散场的演唱会，前面的人已经走了，后面的人也走了，中间的人也走了。但要是你站在舞台中央，往台下看，会发现那些走的人实际上没有变，他们只是换了一种姿势，站在新的地方，却保留着同一个身份。圆的割线定理，说的就是这个道理：在圆的魅力面前，所有的阻挡、所有的遮挡，最终都化作了另一种形式的存有。
那条被挡住的弦，压根儿没出于被挡住就变成了一段“假”的线段，它只是换了一种方式，去和那条没被挡住的弦，共同构成了一个完美的圆。 你看，圆就是如此一个不讲理却又无比理性的存有。它准你把视线拉远，准你把弦变短，准你把一个点拖到另一个点上，准你把两条线重合在一起。它告诉你，有时候，最完美的答案，就是让你认定最完美的逻辑，显得有点儿假的，但又确实。