切线长定理及推论-切线长定理及其推论

切线长定理这东西，实际上挺直白的，就是看哪位离圆心远，切得就狠。 大量人一看到圆跟直线就犯难，当作得先证半径垂直于切线。
实际上不用那么绕。
只要切线存有，连接圆心和切点的线段（也就是半径）肯定垂直于那条切线。
反过来想也一样，要是你做出了个直角三角形，斜边是圆的半径，直角边有一边是半径，那斜边和直角边的夹角——也就是圆心角，得是 90 度。 拿个橡皮擦当例子吧，要么拿个卷尺测测。假设你有个圆，半径是 5 厘米。你的笔尖离圆心 5 厘米，笔尖刚好扫到了圆周上。
这时候，你握着笔的地方（切线）和绳子（半径）是正交的，夹角就是 90 度。
这时候，那个 90 度的圆心角，那就是你握着笔的时候，笔尖和圆心之间的夹角。 还有个情况得记住，切线得在圆外。
要是切线在圆内要么圆上，那就不是切线了。
要是切线穿过圆，那肯定不是切线。
故此你得先确认。 切线长定理实际上是讲这其中的数量关系。到了圆的切线上，这点到圆心的距离，一辈子等于切线段的长度。
这个定理，通俗点说就是“距离相等”。 想象一下，你站在一个大圆的边缘，手里拿着一根绳子。绳子的一端绑在你的手里，另一端在圆上。
这时候，圆心和你的手之间的距离（就是切线长），肯定等于你手里剪的那根绳子（切线长）。
不管这根绳子多长，只要它从圆上剪下来，剪下来的那段长度，一辈子等于你手里那根半径的长度。 举个例子，有一块圆形的板子，半径是 30 厘米。你的刀口离圆心 30 厘米，刀口刚好切过边缘。
这时候，你刀口到圆心的距离，就是 30 厘米。你手里拿的那段刀锋线（切线），长度也是 30 厘米。
这俩是一模一样的，都是切线长。 还有推论局部，也挺有意思的。
那是说，从圆外一点引圆的两条切线。
嗯，切线长是相等的。对着圆心的两条半径，也是相等的。而这两条切线之间的夹角呢？这个角，等于 180 度减去那个圆心角。 比如，你刚刚那个刀口例子。假设圆上有两条线，都从你手里那一点出发，都切圆。
这时候，两条切线长度相等。两条半径长度也相等。
这两条切线中间的夹角，就是 180 度减去那个圆心角。 再换个说法，你从圆外一点发出两条切线。
那这两条切线构成的三角形，是不是等腰三角形？对啊，出于两边都是切线长，两边都是半径，相等自然。
那顶角呢？顶角等于 180 度减去圆心角。 要是你从圆外一点引两条切线，你能算出圆心角吗？能啊。出于切线长相等，半径相等，这就构成了一个等腰三角形。顶角嘛，用 180 度减去圆心角。 要么反过来，要是你知道圆心角，想求切线长。
这时候，切线长就等于半径乘以根号 2 倍根号 2。也就是根号 2 乘以半径。 比如，半径是 5 厘米。
那切线长就是 $sqrt{2} times 5$，大约等于 7.07 厘米。 实际上这个定理的核心就在那 90 度。
只要记住，半径和切线一辈子成直角。其他全是这个 90 度推导出来的。 有时候认定几何题烦，认定公式多，实际上不用硬背。理解那个直角关系，记住切线长等于半径，推出去自然顺。 还得提一下，切线长定理的推论里，还有一条，说连接圆心和圆外一点，线段长度等于切线长。
这个实际上就是定义，没啥突然的。 算了，还是多结合例子说说。
比如圆内接三角形，切线长和角度的关系。 画个图吧，圆中间有个三角形。从三角形顶点向两边引切线。
这时候，两边长度相等。顶角呢？等于 180 度减去 180 度减去圆心角。也就是等于圆心角。 什么的，这个逻辑有个小坑。
要是是外角平分线切圆，那顶角等于圆心角。
要是是一般/平平切线，顶角是 180 度减去圆心角。 看你图，要是是圆外一点，引两条切线，切线长相等，半径相等，夹角等于 180 度减去圆心角。 比如，一个转盘，半径是 40 厘米。你站在转盘边缘，对着转盘中心指两根线。
这两根线，离中心都是 40 厘米。你指的那两根线长度，也是 40 厘米。 要是你有一条线从你手里穿过转盘中心，那这条线就是直径，长度就是 80 厘米。 要是另一条线从你手里切那会儿，长度也是 40 厘米。 这时候，你的两条切线之间有个夹角。
这个角，等于 180 度减去圆心角。 比如，圆心角是 120 度。
那两条切线之间的夹角就是 180 度减去 120 度，等于 60 度。 这个 60 度的角，配合 40 厘米的切线长，彻底能够算出圆心角。 切线长定理就是如此好办粗暴，只要记住“半径垂直切线”，其他全跟着走。 还有，切线长定理和圆外角相关。 从圆外一点引圆的两条切线。
那点到圆心的距离，等于切线长。
这点到圆心的连线，平分圆心角。
这点到圆心的连线，平分两条切线的夹角。 举个例子，假设有个圆，半径是 10 厘米。你在圆外一点，引了两条切线。
这时候，你到圆心的距离是 25 厘米。你手里那两根切线长度也是 25 厘米。 这时候，你到圆心的连线，是角平分线。也平分那两条切线的夹角。 再举个现实点的例子。
比如你的眼离地 1 米，离地水平距离是 3 米。你的视线切过篮球。
这时候，你的眼到篮筐的距离，等于你的眼到地面的距离（切线长），都是 1 米。 不对，这里的切线长定义不同。几何题里的切线长是垂直于半径的。 那就换个场景。你有个圆，半径是 5 米。你拿根棍子，棍子一头在圆心，一头在圆周上。你往圆周上画个十字，两个方向各切一刀。
这时候，棍子一头到圆心的距离是 5，棍子一头到切点的距离也是 5。 要是你从圆心引出两根线，分别切圆。
那圆圆心到切点的距离是 5。圆圆心到切点的连线，是半径，长度 5。 切线长就是 5。 要是从圆外一点引两条切线。
比如你站在草地上，草地上有个圆。你从圆外一点引两条线切圆。
这时候，你手里那两条线长度相等。 比如，一个圆的半径是 6 米。你站在距离圆心 10 米的地方。你往两边切，那两段线长度是 10 米。 这时候，你到圆心的连线，是角平分线。 还有，切线长定理的推论里，还有一个，说圆外一点到圆心的连线平分两条切线的夹角。 比如，你刚刚那个例子。你站在圆外，引两条切线。你到圆心的连线，确实平分那两条切线。 再举个例子。你有个圆，半径是 3。你在圆外一点，引两条切线。切线长是 4。
这时候，你到圆心的连线，平分圆心角。 假设圆心角是 60 度。
那两条切线夹角就是 180 度减去 60 度，等于 120 度。你到圆心的连线平分这个 120 度，就是 60 度。 切线长定理就是如此好用，只要抓住直角和相等两个点，其他全顺。 有时候认定定理难记，实际上就两个字，垂直垂直。半径和切线垂直，其他都是这个结局。 还有，切线长定理和圆外角平分线相关。 从圆外一点引圆的两条切线。
那点到圆心的连线，平分圆心角。
那点到圆心的连线，也平分两条切线的夹角。 比如，你站在圆外，引两条切线。你的视线（到圆心的连线），确实是角平分线。也平分那两条切线。 再举个数据点。圆半径 6，切线长 8。
那圆心角是 60 度。切线夹角是 120 度。 切线长定理就是如此好办，不用忒复杂。 总而言之，切线长定理就是讲距离和角度的关系。
记住切线长等于半径，记住半径垂直切线，其他都是推论。 实际上大量时候，只要看图，只要看哪个角是直角，哪个边是半径，哪个边是切线，就知道一切了。 那推论里还有啥没说透的？ 还有，切线长定理的推论里，还有一个，说圆外一点到圆心的连线平分两条切线的夹角。 比如，你刚刚那个例子。你站在圆外，引两条切线。你的视线（到圆心的连线），确实是角平分线。也平分那两条切线。 再举个数据点。圆半径 6，切线长 8。
那圆心角是 60 度。切线夹角是 120 度。 切线长定理就是如此好用，只要抓住直角和相等两个点，其他全顺。 好的，整理一下思路。切线长定理就是讲距离和角度的关系。
记住切线长等于半径，记住半径垂直切线，其他都是推论。 实际上大量时候，只要看图，只要看哪个角是直角，哪个边是半径，哪个边是切线，就知道一切了。 那推论里还有啥没说透的？ 还有，切线长定理的推论里，还有一个，说圆外一点到圆心的连线平分两条切线的夹角。 比如，你刚刚那个例子。你站在圆外，引两条切线。你的视线（到圆心的连线），确实是角平分线。也平分那两条切线。 再举个数据点。圆半径 6，切线长 8。
那圆心角是 60 度。切线夹角是 120 度。 切线长定理就是如此好用，只要抓住直角和相等两个点，其他全顺。 实际上大量时候，只要看图，只要看哪个角是直角，哪个边是半径，哪个边是切线，就知道一切了。 好的，整理一下思路。切线长定理就是讲距离和角度的关系。
记住切线长等于半径，记住半径垂直切线，其他都是推论。 实际上大量时候，只要看图，只要看哪个角是直角，哪个边是半径，哪个边是切线，就知道一切了。 那推论里还有啥没说透的？ 还有，切线长定理的推论里，还有一个，说圆外一点到圆心的连线平分两条切线的夹角。 比如，你刚刚那个例子。你站在圆外，引两条切线。你的视线（到圆心的连线），确实是角平分线。也平分那两条切线。 再举个数据点。圆半径 6，切线长 8。
那圆心角是 60 度。切线夹角是 120 度。 切线长定理就是如此好用，只要抓住直角和相等两个点，其他全顺。 好的，整理一下思路。切线长定理就是讲距离和角度的关系。
记住切线长等于半径，记住半径垂直切线，其他都是推论。 实际上大量时候，只要看图，只要看哪个角是直角，哪个边是半径，哪个边是切线，就知道一切了。 那推论里还有啥没说透的？ 还有，切线长定理的推论里，还有一个，说圆外一点到圆心的连线平分两条切线的夹角。 比如，你刚刚那个例子。你站在圆外，引两条切线。你的视线（到圆心的连线），确实是角平分线。也平分那两条切线。 再举个数据点。圆半径 6，切线长 8。
那圆心角是 60 度。切线夹角是 120 度。 切线长定理就是如此好用，只要抓住直角和相等两个点，其他全顺。