罗尔中值定理证明过程-罗尔中值证过程

罗尔中值定理这事儿，实际上跟咱们平时看爬山要么坐过山车挺像的。
你想想，要是你从山脚爬到山顶，最终又回到山脚，那肯定得经历一段“平地”吧？哪怕你是爬得飞起，最终也得在那儿歇会儿，让你歇歇脚喘口气，对吧？这实际上就是罗尔中值定理说的：要是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，那在 $(a, b)$ 里肯定起码得有一个点，让它的导数等于零。
也就是说，曲线得有个“水平切线”摸到。 大量人看到“中值”这两个字，第一反应就是那个经典的三角形模型。画个图吧，$a$ 在左边，$b$ 在右边。
要是函数是一条无限陡峭的曲线，从 $a$ 点飙到 $b$ 点，那中间肯定得有个点，让切线水平。
要是函数在 $a$ 点就是 100，在 $b$ 点就是 -100，那中间肯定得有个点，让斜率变成 0。
这逻辑实际上特别直观，就是“高中低”的三种状态，务必得有中间那个“平”的，对吧？ 不过严格证明的话，不能光靠直觉，得把每一个细节抠得干干净利落净。我们先把定义摆在那儿。假设函数在闭区间上连续，在开区间上可导。为了让证明更严谨，我们先把区间设为 $[0, pi/2]$。假设 $f(0) = 0$，$f(pi/2) = 0$。我们要找的切线是 $y=0$。 要是函数在区间内恒等于 0，那自然处处导数都是 0，结论立住了。
那有没有可能函数根本不为 0？比如先往上爬，再往下掉。
既然函数在区间上可导，那它就不能有尖角、折点要么自相交这些“不可导”的地方。
要是函数是自相交的，那它就说明函数值既等于 0 又大于 0，这违反了罗尔定理的前提条件——函数在闭区间上务必是连续的。
故此，函数不能自相交，它务必是一条平滑的曲线。 既然曲线不能自相交，并且两端都是 0 点，那它要么像个拱门拱起，要么像个山谷挖下去。
这两种情况实际上是一样的，只关于调个符号。我们不妨假设它在 $(0, pi/2)$ 内恒大于 0。
为啥？出于要是它小于 0，那结论还是成立的，只是最终拿到的切线是 $y=0$ 的反之方向，不影响“有一个点导数为 0"的事实。
故此假设它的最大值严格大于 0。 这就引出了导数的存有性难题。
既然函数在区间内可导，那它在任意一点附近都有导数。我们挑个特殊点 $c$ 在 $(0, pi/2)$ 里。
要是这个点是最值点呢？那导数务必是 0。
要是是极值点，导数自然等于 0。
那要是不是极值点呢？ 好，我们换个思路，用构造法。假设在区间内所有点的函数值要么是 0，要么大于 0，要么是负数。
要是存有某个点 $c$ 使得 $f(c) = 0$，那自然知足条件，切线就是 $y=0$，导数为 0。
故此要是我们要构造一个反例（证明不存有这样的点），务必假设所有点的函数值都不等于 0，要么都大于 0，要么都小于 0。 要是所有点都大于 0，那就意味着函数在区间内没有达到最小值，出于最小值在区间内取得的话，那就是导数为 0 的点。
既然导数不存有那个点，那最小值只能在区间边界取得。
既然边界值都是 0，那函数在区间内恒大于 0。
同理，要是所有点都小于 0，那最大值只能在边界取得，函数恒小于 0。 这就回到了“恒大于 0"和“恒小于 0"的情况。
要是恒大于 0，那么函数在 $x=pi/2$ 处取得最大值。
既然函数可导，且在该点取得最大值，那导数务必为 0。
这就是罗尔定理的核心了。导数 $f'(c) = 0$，其中 $c$ 是最大值点。 为了把这个逻辑链条补全，我们需求验证一些细节。
比方说，要是函数在区间内恒大于 0，那导数不可能恒大于 0。出于要是导数恒大于 0，说明函数一辈子在上升。可函数的定义域是固定的，它不可能一辈子上升地跑向无穷大。它还得回来，要不就它是个不对劲儿的东西，但这违反了可导的前提。
故此导数不可能恒大于 0。
既然导数不能恒大于 0，也不能恒小于 0，也不能恒等于 0（出于区间内恒大于 0），那导数肯定得在某个地方变成 0。 要是导数恒等于 0，那函数就是常数，但这不符合 $f(0)=0$ 且 $f(pi/2)=0$ 但值域大于 0 的假设。
故此导数不可能恒等于 0。 剩下的选项就是导数既不是恒大于 0，也不是恒小于 0，也不是恒等于 0。
那么导数得在某个区间上取正值，又得在某个区间上取负值。根据介值定理，导数务必穿过 0。
既然导数穿过 0，那肯定有一个点，导数等于 0。 等一下，这里有个小陷阱。罗尔定理要求的是“可导”，而不是“连续”。有些函数别看连续，但在某些点不可导，比如 $y = |x|$。
不过罗尔定理有额外条件，就是导数在开区间内存有。
要是导数在开区间内存有，那它不能有尖角。
故此函数不能自相交。又出于两端相等，故此函数不能恒小于 0 也不能恒大于 0。 要是函数在区间内恒大于 0，那它在区间内必有最大值点。出于最大值点在区间内可导，故此该点导数为 0。
这个逻辑链条是整个的。 再举个具体的例子。设 $f(x) = x sin x$，在 $[-pi, pi]$ 上。$f(-pi) = 0$，$f(pi) = 0$。中间那个 0 点显然知足条件。再比如 $f(x) = sin x$，在 $[0, pi]$ 上。$f(0)=0$，$f(pi)=0$。在 $(0, pi)$ 内，导数 $f'(x) = cos x$。当 $x = pi/2$ 时，$f'(pi/2) = 0$。
这就是那个“平地”点。 要是函数是 $f(x) = x^2$，在 $[-1, 1]$ 上。$f(-1)=1, f(1)=1$。中间 $f'(x)=2x=0$ 在 $x=0$。 实际上大量时候，我们就连不需求算出导数式子。
只要知道函数是光滑的、两头是端点，中间有个“最高点”要么“最低点”，那个点的切线水平就是 0。但要是函数是多重峰的，那肯定不止一个点，肯定不止一个点导数为 0。 实际上证明的精髓在于把“函数值不为 0"这个假设推出来。假设函数在区间内恒大于 0，那它务必有最大值。出于函数在区间内可导，故此最大值只能在区间内取得（要不就端点，但端点值相等，要是最大值在端点，那导数在端点不存有，这就违反了开区间可导的前提；要是最大值在端点，那函数在区间内恒小于最大值，但这与恒大于 0 矛盾，要不就函数恒等于最大值，但这意味着导数恒为 0，与恒大于 0 矛盾）。
故此最大值只能在区间内取得。
既然在区间内取得最大值的点是可导的，那它的导数就是 0。 就这样一场看似玄妙的证明，实际上就是把连续性和可导性的结合，加上两端相等的边界条件，最终逼出那个“导数为零的点”。它不只是是个定理，更像是数学世界里的一种“必然”，就像人务必进食一样，导数务必为 0 是函数两端相等、可导且不为 0 时的唯一出路。 故此，当我们面对一个两端相等、中间可导的函数时，我们心里就有底了，那条“平地”切线肯定存有。
这就叫罗尔中值定理，好办，实用，又透着股严谨劲儿。