余弦定理三角形的面积公式-余弦定理三角形面积

三角形这玩意儿，实际上就是把三条线围起来，像个小盾牌一样挡在外面。咱们就不用那些虚头巴脑的啥“定义”、“定理”了，直接上手摸一摸。 想象一下，你手里拿着一个不规则的铁皮尺，想算出它的面积。最好办办法就是把它切成两半，沿着对角线一剪。
这时候心里有个数：只要知道两条边，还有这两条边夹着的那个角度，就能算出切割局部的面积。有了这个“半块”的面积，再加上剩下的另一半，总面积不就出来了？这实际上就是三角形面积公式最直观的由来：$S = frac{1}{2}absin C$。 不过，有时候未必知道那个夹角 $C$，要么 $a$、$b$ 边长都不知道。
这时候就得换个思路了。
这时候科学家们把脚踩在实地，去测量一个角 $A$ 和它对的边 $a$，另一个角 $B$ 和它对的边 $b$。
这时候难题来了，要是只知道两头和一边，心里是不是有点慌？实际上还好，这时候的公式会略微变个样，变成 $S = frac{1}{2}absin A = frac{1}{2}absin B$。 咱得记清楚，这里面的正弦号 $sin$ 别写错了，那个斜杠 $frac{1}{2}$ 也是不能漏的。并且要注意，面积算出来是个正数，不管你是如何量角的，结局都得是正的，这符合物理直觉。 有时候，你就连不需求知道边长，只要知道两边和它们夹着的角，就连只需求那两个角，就能算出面积。
比方说，你手里已经拿着一个量角器，量出了两个角分别是 $30^circ$ 和 $60^circ$，你不需求知道具体的边长数值，直接套进公式里就能算出面积。
这时候优势就出来了，出于不需求乘边长，不需求开根号，计算过程好办多了。 为了让你更清楚这个公式到底咋用，咱们来具体算算看。假设有一个三角形，其中两条边长分别是 $6$ 厘米和 $4$ 厘米，它们之间的夹角是 $60^circ$。
这时候，直接把数值代进公式：$S = frac{1}{2} times 6 times 4 times sin 60^circ$。算一下，$6 times 4$ 是 $24$，再乘以 $30$ 除以 $2$，也就是 $12$。最终 $sin 60^circ$ 等于 $frac{sqrt{3}}{2}$，乘以 $12$ 就是 $6sqrt{3}$，大约等于 $10.39$ 平方厘米。
这个结局和直接用余弦定理算出的第三边，再用海伦公式算的面积是一样对的，但过程确实快多了。 还有一次，你只量出了两个角，一个是 $45^circ$，另一个是 $60^circ$。
这时候你心里跟明镜似的。根据三角形内角和 $180^circ$，剩下的那个角就是 $75^circ$。
这时候你只需求量出最靠近那 $75^circ$ 角的那条边，比如是 $5$ 厘米。
这时候公式就变成了 $S = frac{1}{2} times a times b times sin A$，也就是 $frac{1}{2} times 5 times dots$ 不对，得看哪两边夹着哪个角。假设 $a$ 是 $75^circ$ 的对边，$b$ 是 $75^circ$ 邻边，$c$ 是 $75^circ$ 的对边？不对，重新理一下。 实际上不管如何量，核心逻辑都在于：面积跟两边乘积成正比，跟夹角的正弦成正比。
要是夹角是 $45^circ$，$sin 45^circ$ 是 $frac{sqrt{2}}{2}$，要是夹角是 $90^circ$，$sin 90^circ$ 就是 $1$，这时候面积就是两边乘积，显然比 $45^circ$ 的时候大。
要是夹角是 $180^circ$，那是条直线，面积归零，$sin 180^circ$ 也是 $0$，这就彻底合理了。 举个例子，要是你站在山顶，看到下面两个山峰，你测到一个角是 $72^circ$，对着的那个边长是 $100$ 米，再对着的那个角是 $30^circ$。
这时候剩下的边长对着的角就是 $72^circ$ 的补角？不对，是三角形内角和减去已知角。已知两个角，$72$ 和 $30$，那第三个角是 $78^circ$。
这时候你要算面积，就得选哪个边作为底？一般选那个夹在已知角两边的边，要么选任意一边，只要记得对应的角。
比如选边 $c$ 对着角 $C$，边 $a$ 对着角 $A$。
要是知道边 $a$ 和角 $A$、角 $B$，公式就是 $S = frac{1}{2}acsin B$。 日常应用中，这个公式算面积时常用。
比如算房子盖了多少平米，要么算三角形屋顶能装多少瓦当。
有时候还用来算重叠的图形面积，就连玩法里算掷骰子要么投掷硬币时的概率分布面积，这些实际上都是先用几何图形的面积公式算出来的。 并且，这个公式实际上和余弦定理关系挺大的。余弦定理算的是第三边，$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。面积公式是 $S = frac{1}{2}absin C$。你会发现，$2abcos C$ 和 $2absin C$ 挺像，只是那个三角函数换了。在直角三角形里，$cos C$ 和 $sin C$ 是互余的，它们的平方和是 $1$，这也对应了勾股定理的面积式子。
实际上这两条公式是兄弟关系，一个看边长关系，一个看角的关系，互补罢了。 有时候你就连不需求算出精确的根号值就能估算。
比如两边都是 $100$ 米，夹角是 $30^circ$，那面积就是 $frac{1}{2} times 100 times 100 times frac{sqrt{3}}{2}$，也就是 $25sqrt{3}$，接近 $43.3$。
要是夹角是 $60^circ$，那就是 $25sqrt{3}$，结局一样？不对，$30^circ$ 和 $60^circ$ 正弦值不同。$30^circ$ 的正弦是 $0.5$，$60^circ$ 的正弦是 $0.866$，$25 times 0.866$ 明显比 $25 times 0.5$ 大。
这说明角度越大，面积越大，符合常理。 另外，别忘了单位换算。
要是两边是厘米，算出来的面积单位就是平方厘米；要是两边是米，那就是平方米。
这在工程画图要么做工程地基的时候特别关键，别把单位搞混了。
有时候就连需求把平方米换算成平方分米、平方分厘这些更细的小单位，要么反过来。 还有一些特殊情况，比如等腰三角形，要么直角三角形，这时候公式能够简化。直角三角形里，$C=90^circ$，$sin 90^circ = 1$，故此面积直接等于两条直角边的乘积，这就特别撇脱。等腰三角形，要是底角相等，顶角能够求，底边也能够求，最终套公式，过程也不难。 实际上说到底，这个公式就是讲道理。它告诉你，三角形的大小，一半由“哪两条边”拍板，另一半由“这两条边张开多大角度”拍板。
只要抓住了这两点，不管边长多长，角度多怪，公式都能用。
有时候认定它有点抽象，认定得找个直角三角形硬塞进去，但一旦搞明白它和余弦定理的关系，实际上就顺理成章了。