外角平分线定理简单-外角平分线定理简

外角平分线定理简单

在初中几何的“角平分线”专题中，外角平分线定理看似简单，实则蕴含了空间想象力的关键。它是判定三角形存在性的重要工具，也是证明线段比例关系（中线、角平分线）的基础。理解这一定理，能有效打通三角形内心、外心与垂心的诸多几何路径。

本内容由界域职考网xinlishi.cc团队精心梳理，旨在帮助考生将复杂的几何图形拆解为可计算的逻辑步骤。

外角平分线定理简单

即对于 $triangle ABC$ 的外角平分线 $AP$（$P$ 在 $BC$ 的延长线上），若 $P$ 到 $AB$ 边的距离等于 $P$ 到 $AC$ 边的距离，则该线段 $AP$ 必定平分 $angle BAC$ 的补角。

反之，若已知 $AP$ 是 $angle BAC$ 的外角平分线，且 $P$ 到两边距离相等，则该结论成立。这一判定特性使得该定理成为解决“一线三等角”模型中全等证明的黄金钥匙。

通过构造“一线三等角”模型，我们可以直观地理解外角平分线的性质。

设 $triangle ABC$ 中，$AB=c, AC=b$。作 $PD perp AB$ 交 $BA$ 延长线于 $D$，作 $PE perp AC$ 交 $AC$ 延长线于 $E$。

易证 $triangle PDE cong triangle PEB$ 和 $triangle PEC cong triangle PEA$，从而得出 $PD=PE$。根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），点 $P$ 必在 $angle EAB$ 的平分线上，即 $AP$ 平分 $angle BAC$ 的外角。

反之，若 $AP$ 平分外角，由对称性可直接得出距离相等，进而推出 $P$ 点在角平分线上。

案例一：已知两边及一角，求未知角或线段关系

如图，在 $triangle ABC$ 中，$AB=5, AC=10, angle BAC=30^circ$，作 $AD$ 平分 $angle BAC$ 的外角，交 $BC$ 的延长线于点 $D$，若 $BD=8$，求 $CD$ 的长。

利用外角定理，$angle DAC = angle B + angle ACB$。由于 $AD$ 是外角平分线，故 $angle DAC = frac{1}{2}(angle B + angle ACB)$。结合三角形内角和定理，可解得 $angle D$ 的大小。

在 Rt$triangle ABD$ 中，利用三角函数或勾股定理结合 $BD$ 的长度，可求出 $AB$ 边上的高，进而求出 $AC$ 边上的高，最后利用面积比或相似三角形性质求出 $CD$ 。

此过程展示了如何将角平分线的定理转化为代数计算的过程。

案例二：证明三角形中线与外角平分线垂直

题目给出 $triangle ABC$，$AD$ 为 $BC$ 边上的中线，$AE$ 为 $angle BAC$ 的外角平分线，求证 $AD perp AE$。

这是一个经典的经典模型。利用外角平分线定理的逆定理，只需证明 $D$ 到 $AB, AC$ 的距离相等，结合中线性质，即可证明 $AD$ 所在直线为 $angle BAC$ 的角平分线所在直线，从而与外角平分线垂直。

这种方法将几何位置关系转化为了距离问题，极大地简化了证明难度。

在训练此知识点时，需特别注意以下陷阱：

1.图形混淆：易将外角平分线与内角平分线混淆。务必牢记外角平分线一定平分的是 $angle BAC$ 的邻补角，而不是 $angle BAC$ 本身。

2.计算错误：在涉及边长比例的计算中，若直接套用相似比，常因忽视角度关系导致比例式列错。

3.遗漏辅助线：面对含外角平分线的图形，往往需要作高线或延长线构成“一线三等角”，若直接套用定理而忽略辅助线构造，将无法证明点在线上。

习题一：

如图，$triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$angle BAC=100^circ$，$AD$ 平分 $angle BAC$ 的外角，求证：$AD parallel BC$。

解：

• 先求 $angle B + angle C = 100^circ$。
• 由外角定理知，外角 $= angle B + angle C = 100^circ$。
• 因 $AD$ 平分外角，故 $angle DAB = frac{1}{2} times 100^circ = 50^circ$。
• 又 $angle B = frac{1}{2} times 100^circ = 50^circ$（等腰三角形）。
• 故 $angle DAB = angle B$，根据内错角相等，得 $AD parallel BC$。

习题二：

已知 $AB=AC$，$angle A=30^circ$，$angle B$ 的外角平分线 $BE$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$，若 $AE=4sqrt{3}$，求 $AB$ 的长。

解：

• 由对称性知 $BE$ 平分 $angle B$ 的外角，故 $angle ABE = angle CBE$。
• 根据外角平分线定理，$angle C = angle ABE$。
• 故 $angle ABE = angle E = 15^circ$。
• 在 $triangle ABE$ 中，利用正弦定理或作高线求解。

，外角平分线定理简单不仅是几何证明的基石，更是解题的捷径。

掌握其“距离相等”的本质，能够让我们在面对复杂三角形问题时，迅速找到突破口。从基础的判定到严密的推导，再到具体的计算应用，每一步都离不开对定理的深刻理解。

希望考生通过《界域职考网 xinlishi.cc》系统掌握这一知识点，在各类数学考试中稳拿高分。

几何之美在于转化，愿你能在角平分线的世界里游刃有余。