韦达定理相关例题10道-韦达定理例题十道

在高中数学高考及各类职业资格考试中，一元二次方程的根与系数的关系是核心素养的重要体现，而韦达定理正是连接方程系数与根的桥梁。经过十余年的教学积累与题库研究，界域职考网xinlishi.cc（界域职考网）精心甄选并梳理了十道高难度、高代表性的韦达定理例题，旨在帮助考生构建系统化的解题思维模型。
下面呢将对这十道典型例题进行深度剖析，并提供一套完整的应试攻略。

一、核心概念与基础定义解析

要高效解决韦达定理相关题目，首先必须厘清其数学本质。对于标准形式为$ax^2+bx+c=0(aneq0)$的一元二次方程，其两根$x_1$与$x_2$（假设方程有实根）满足以下两个核心关系：
1.两根之和：$sum x = x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$；
2.两根之积：$prod x = x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。这一规律贯穿了从初中因式分解法到高中导数法、不等式法等所有解法路径。考试中的陷阱往往不在于回忆公式，而在于理解题目的具体语境，例如本题中$x_1,x_2$是否被定义为实数，或者是否满足题目给定的额外条件（如$x_1+x_2=3$且$x_1 cdot x_2=-2$）。

• 解题逻辑链： 审题定条件 → 设未知数 → 构建方程 → 代入韦达公式 → 求解变量。

二、十道经典例题深度剖析

例题一：基础运算型——求两根之积后的新值

【题干】已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2+(m+3)x+2=0$，若方程有一根$x_1$，且$x_1=1$，则$x_1 cdot x_2$的值为（    ）。

【分析】

• 解此题的第一步是提取根号，即得到$x_2 = frac{c}{a} = frac{2}{m-2}$。
• 结合已知条件$x_1=1$，直接代入乘积公式：$x_1 cdot x_2 = 1 cdot frac{2}{m-2} = frac{2}{m-2}$。
• 此时暴露出一个未知数$m$，需利用韦达定理中的另一个关系式：$x_1+x_2 = -frac{b}{a}$。代入数值得$1+frac{2}{m-2} = -frac{m+3}{m-2}$。
• 解此分式方程求出$m$，再代回求值。

【考点归纳】此题考察了首先求出一个根，再利用两根之积公式求根，最后结合方程系数关系求参数的能力，是基础训练题。

例题二：参数求值型——已知两根之和求系数比

【题干】已知方程$ax^2+bx+c=0$的两根之比为$1:2$，且两根之和为$6$，则$a:b:c$的值为（    ）。

【分析】

• 根据比例关系，设两根分别为$x_1=2k, x_2=k$（$k>0$）。
• 由韦达定理知$x_1+x_2=3k=6$，解得$k=2$，故两根为$4$和$2$。
• 进而得出系数关系：$a:b:c = 4:2:1$（注意符号，若$a,b,c$均正，则$a+b+c$最大；若有负数，需视具体方程而定，通常此类题默认为正比例）。
• 具体计算：$x_1+x_2 = -frac{b}{a} = 6$，$x_1x_2 = frac{c}{a} = 2$。根据比例$1:2$，设$c=2a$，带入$-frac{b}{a}=6$得$b=-6a$，此时$a:b:c = 1:-6:2$。

【考点归纳】此题侧重于理解“比例”与“系数”的抽象对应关系，需灵活转换比例比例式与和积式。

例题三：含参讨论型——根的正负判断

【题干】若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有一根为正数，另一根为负数，则（    ）。

【分析】

• 韦达定理告诉我们，若两根异号，则必有一正一负。
• 根据取根号法，$x_1 = frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}, x_2 = frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
• 两根之积$x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。当方程有实根时，若两根异号，则$c/a < 0$，即$c$与$a$异号。
• 因此结论为：$a$与$c$异号。

【考点归纳】此题考察了二次函数图像与x轴交点位置的含义，是区分符号的关键。

例题四：倒数方程型——求倒数根之积

【题干】已知方程$ax^2+bx+c=0$的两根$x_1, x_2$，且$x_1 x_2 = frac{1}{a}$，则$x_1 + x_2$的值为（    ）。

【分析】

• 这是一个典型的“倒置”模型。通常韦达定理是$frac{c}{a}$，而此处给出了$frac{1}{a}$。
• 直接采用倒数原理：将原方程各项同时除以$x_1 x_2$（或整理成$frac{a}{x_1x_2} = frac{c}{x_1 x_2} cdot frac{1}{a}$），可得新方程$frac{a}{x_1x_2}x^2 + frac{b}{x_1x_2}x + frac{c}{x_1x_2} = 0$。
• 这个新方程的系数与原方程系数存在倍数关系，需利用新方程的根与系数关系求和。

【考点归纳】此题通过变换系数形式，测试考生对韦达定理灵活应用的能力。

例题五：分段函数型——分类讨论求值

【题干】已知方程$x^2-ax+a=0$的两根$x_1, x_2$，且$x_1+x_2=3$，若$x_1$与$x_2$均为正数，则$a$的值为（    ）。

【分析】

• 根据韦达定理，$x_1+x_2 = -frac{-a}{1} = a = 3$。
• 进一步检查根的符号：$x_1 x_2 = frac{a}{1} = 3 > 0$，若两根之和为正，看判别式$Delta = a^2-4a$。
• 若$Delta ge 0$，则$t^2-a(a+4)$？不对，$a=3$。$x= frac{3 pm 3}{2}$，根为$3$和$0$，不满足“均为正数”。
• 重新审视题意：若两根均为正，则需$x_1 x_2 > 0$且$x_1+x_2 > 0$。$x_1 x_2 = 3 > 0$满足，$x_1+x_2=3>0$满足。说明$a=3$时，两根均为正，符合条件。

【考点归纳】此题通过检验根的符号，验证解的合理性，强调“检验”环节的重要性。

例题六：绝对值方程型——根与系数的绝对值

【题干】已知方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$1$和$-3$，则$1:a:c = (quad)$。

【分析】

• 根据韦达定理，$1+(-3) = -frac{b}{a} implies -2 = -frac{b}{a} implies b=2a$。
• $1 cdot (-3) = frac{c}{a} implies -3 = frac{c}{a} implies c=-3a$。
• 由此得出$a:b:c = 1:2:-3$。

【考点归纳】此题直接考察基本运算，是基础题中的变种。

例题七：二次函数型——顶点坐标与对称轴

【题干】已知二次函数$y=ax^2+bx+c(aneq0)$的图象经过点$A(1, 2)$和$B(-1, 0)$，若该函数图像与x轴的另一交点为$C$，则$y$轴截距$OC$的长度为（    ）。

【分析】

• 利用韦达定理、根与系数关系及函数性质求解。
• 设另一交点为$x_C$，则$x_A + x_C = 0$（对称轴在y轴上，中点为0）$implies 1+x_C=0 implies x_C=-1$。
• 但这与点B坐标重复，说明需重新计算。根据韦达定理，两根之和为$-frac{b}{a}$。由$A(1,2), B(-1,0)$，斜率$k=frac{2-0}{1-(-1)}=1$。直线$AB$方程$y=x+1$。代入$y=x^2+bx+c$，得$x^2+bx+c=x+1 implies x^2+(b-1)x+(c-1)=0$。
• 此方程两根为$1, -1$。和为$0 implies b-1=0 implies b=1$。积为$-1 implies c-1=-1 implies c=0$。
• 方程为$y=x^2+x$，与x轴交点为$x=0, x=-1$。$y$轴截距为$c=0$。

【考点归纳】此题综合了函数图像、对称轴与韦达定理，需结合图像理解根的意义。

例题八：数列型——根之和转化为数列性质

【题干】$x_1, x_2, dots, x_n$是方程$x^2-x+1=0$的$n$个根，则$x_1+x_2+dots+x_n$的值为（    ）。

【分析】

• 方程$x^2-x+1=0$可变形为$x^2+1=x$。
• 两边同除以$x$（$x neq 0$），得$x + frac{1}{x} = 1$。
• 由于$x_i$是方程的根，显然$x_i neq 0$（因虚根不存在）。
• 两边乘以$x_i$：$x_i + frac{1}{x_i} = 1$。
• 求和：$sum x_i + sum frac{1}{x_i} = n times 1 = n$。
• 注意：此题若$n$为奇数，$x_1+x_2+dots+x_n = frac{b}{a} = -1$。若$n$为偶数，需计算。此题通常为奇数项求和，或考察数列求和公式。

【考点归纳】此题引入数列视角，考察根的对称性与求和技巧。

例题九：不等式型——根之积的不等式解法

【题干】已知方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根$x_1, x_2$满足$x_1+x_2=5$，$x_1 cdot x_2=2$，则$(x_1+2)(x_2+2)$的最大值为（    ）。

【分析】

• 展开式：$(x_1+2)(x_2+2) = x_1x_2 + 2(x_1+x_2) + 4$。
• 代入数值：$2 + 2(5) + 4 = 14$。
• 若问最大值或最小值，需考虑根是否变化。但在给定系数和积固定的情况下，根本身由方程唯一确定（实根），故该代数式值唯一，即为最大值。

【考点归纳】此题考察代数式的变形与整体代入思想，是解题的“得分点”。

例题十：综合应用型——几何面积与韦达定理

【题干】如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若$AC=3, BC=4$，且抛物线开口向上，则$a$的值为（    ）。

【分析】

• 根据题意，A、B为$(-3, 0), (1, 0)$（或$(-4, 0), (0, 0)$等，需确定位置）。
• 设A$(-3, 0)$，B$(1, 0)$，则$Delta x = 4$，$Delta y = 3$。根据勾股定理，$Delta x^2 + Delta y^2 = 4^2+3^2=25$。
• 利用韦达定理：$x_A+x_B = -frac{b}{a}, x_A cdot x_B = frac{c}{a}$。
• 由两点坐标推导对称轴位置，进而求出$b$，再由$Delta y$求出$c$。
• 最终代入$a = frac{c-b^2}{4a}$或类似公式求值。

【考点归纳】此题难度较大，要求将几何距离转化为代数数量关系，综合运用所有知识点。

三、二十章综合备考攻略

通过对上述十道例题的逐一攻克，我们可以提炼出以下备考方法论：

1. 第一，构建模型： 将韦达定理公式与方程根的关系（和、积、根号下的判别式$Delta$）建立联系。每道题目本质上都是不同形式的方程，找到对应的模型即可。
2. 第二，规范步骤： 遵循“读题设条件 $rightarrow$ 设根 $rightarrow$ 列方程 $rightarrow$ 代公式 $rightarrow$ 验根”的标准流程。切勿跳步或忽略验根。
3. 第三，转化技巧： 遇到复杂题时，优先考虑“倒数方程”、“根与系数倒数”、“函数图像法”等辅助手段，将抽象的代数运算转化为直观的图形运算。
4. 第四，陷阱防范： 警惕题目中隐含的“正负号”、“实数根基数”、“判别式”等陷阱，这些往往是计算错误的根源。

四、结语

韦达定理不仅是掌握一元二次方程解法的关键工具，更是连接代数与几何的桥梁。通过界域职考网xinlishi.cc提供的十道精选例题，我们得以窥见解题的多种范式。从基础的代数和，到复杂的函数图像，每一道题目都是对逻辑思维的一次锤炼。希望考生能将这些例题中的思路内化为自己的解题本能，在面对复杂的数学问题时，能够从容不迫，准确无误地运用韦达定理这一利器，突破瓶颈，取得优异的成绩。执笔为鉴，笔耕不辍，必将在数学之